¿Cuál es la integral de int tan ^ 4x dx?

Responder:

# (tan ^ 3x) / 3-tanx + x + C #

Explicación:

Resolver las antiderivadas trigonométricas generalmente implica dividir la integral para aplicar Identidades de Pitágoras, y usarlas # u #-sustitución. Eso es exactamente lo que haremos aquí.

Comienza por reescribir # inttan ^ 4xdx # como # inttan ^ 2xtan ^ 2xdx #. Ahora podemos aplicar la identidad pitagórica. # tan ^ 2x + 1 = sec ^ 2x #o # tan ^ 2x = sec ^ 2x-1 #:

# inttan ^ 2xtan ^ 2xdx = int (sec ^ 2x-1) tan ^ 2xdx #

Distribuyendo el # tan ^ 2x #:

#color (blanco) (XX) = intsec ^ 2xtan ^ 2x-tan ^ 2xdx #

Aplicando la regla de la suma:

#color (blanco) (XX) = intsec ^ 2xtan ^ 2xdx-inttan ^ 2xdx #

Evaluaremos estas integrales una por una.

Primera integral

Este se resuelve utilizando un # u #-sustitución:

Dejar # u = tanx #

# (du) / dx = sec ^ 2x #

# du = sec ^ 2xdx #

Aplicando la sustitución, #color (blanco) (XX) intsec ^ 2xtan ^ 2xdx = intu ^ 2du #

#color (blanco) (XX) = u ^ 3/3 + C #

Porque # u = tanx #, # intsec ^ 2xtan ^ 2xdx = (tan ^ 3x) / 3 + C #

Segunda integral

Ya que realmente no sabemos qué # inttan ^ 2xdx # es solo mirándolo, intente aplicar el # tan ^ 2 = sec ^ 2x-1 # Identidad de nuevo:

# inttan ^ 2xdx = int (sec ^ 2x-1) dx #

Usando la regla de la suma, la integral se reduce a:

# intsec ^ 2xdx-int1dx #

El primero de estos, # intsec ^ 2xdx #, es solo # tanx + C #. El segundo, el llamado "integral perfecto", es simplemente # x + C #. Juntándolo todo, podemos decir:

# inttan ^ 2xdx = tanx + C-x + C #

Y porqué # C + C # es solo otra constante arbitraria, podemos combinarla en una constante general #DO#:

# inttan ^ 2xdx = tanx-x + C #

Combinando los dos resultados, tenemos:

# inttan ^ 4xdx = intsec ^ 2xtan ^ 2xdx-inttan ^ 2xdx = ((tan ^ 3x) / 3 + C) - (tanx-x + C) = (tan ^ 3x) / 3-tanx + x + C #

De nuevo, porque # C + C # Es una constante, podemos unirlos en uno. #DO#.

¿Cuál es la integral de int ((x ^ 2-1) / sqrt (2x-1)) dx?

Int (x ^ 2-1) / sqrt (2x-1) dx = 1/20 (2x-1) ^ (5/2) +1/6 (2x-1) ^ (3/2) -3 / 4sqrt (2x-1) + C Nuestro gran problema en esta integral es la raíz, por lo que queremos deshacernos de ella. Podemos hacer esto introduciendo una sustitución u = sqrt (2x-1). La derivada es entonces (du) / dx = 1 / sqrt (2x-1) Por lo tanto, dividimos (y recuerde, dividir por un recíproco es lo mismo que multiplicar por solo el denominador) para integrar con respecto a u: int ( x ^ 2-1) / sqrt (2x-1) dx = int (x ^ 2-1) / cancel (sqrt (2x-1)) cancel (sqrt (2x-1)) du = int x ^ 2-1 du Ahora todo lo que tenemos que hacer es expresar el

¿Cuál es la integral de int tan ^ 5 (x)?

Int tan ^ (5) (x) dx = 1 / 4sec ^ (4) (x) -sec ^ (2) (x) + ln | sec (x) | + C int tan ^ (5) (x) dx Sabiendo el hecho de que tan ^ (2) (x) = sec ^ 2 (x) -1, podemos reescribirlo como int (sec ^ 2 (x) -1) ^ (2) tan (x) dx, que produce int sec ^ 3 (x) sec (x) tan (x) dx-2int sec ^ 2 (x) tan (x) dx + int tan (x) dx Primera integral: Sea u = sec (x) -> du = sec (x) tan (x) dx Segunda integral: Sea u = sec (x) -> du = sec (x) tan (x) dx Por lo tanto, int u ^ 3 du - 2int u du + int tan (x) dx También tenga en cuenta que int tan (x) dx = ln | sec (x) | + C, lo que nos da 1/4 u ^ 4 - 1/2 u ^ 2 + ln | sec (x) | + C Sustit

¿Cómo evalúa la integral definida int sec ^ 2x / (1 + tan ^ 2x) de [0, pi / 4]?

Pi / 4 Note que de la segunda identidad de Pitágoras que 1 + tan ^ 2x = sec ^ 2x Esto significa que la fracción es igual a 1 y esto nos deja la integral bastante simple de int_0 ^ (pi / 4) dx = x | _0 ^ (pi / 4) = pi / 4