¿Cuál es el ortocentro de un triángulo con esquinas en (4, 9), (7, 4) y (8, 1) #?

Responder:

Ortocentro #(43,22)#

Explicación:

El ortocentro es el punto de intersección de todas las altitudes del triángulo. Cuando se dan las tres coordenadas de un triángulo, podemos encontrar ecuaciones para dos de las altitudes y luego encontrar dónde se intersecan para obtener el ortocentro.

Llamemos #color (rojo) ((4,9) #, #color (azul) ((7,4) #y #color (verde) ((8,1) # coordenadas #color (rojo) (A #,# color (azul) (B #y #color (verde) (C # respectivamente. Encontraremos ecuaciones para líneas. #color (carmesí) (AB # y #color (cornflowerblue) (BC #. Para encontrar estas ecuaciones, necesitaremos un punto y una pendiente. (Usaremos la fórmula punto-pendiente).

Nota: La pendiente de la altitud es perpendicular a la pendiente de las líneas. La altitud tocará una línea y el punto que se encuentra fuera de la línea.

Primero, abordemos #color (carmesí) (AB #:

Cuesta abajo: #-1/({4-9}/{7-4})=3/5#

Punto: #(8,1)#

Ecuación: # y-1 = 3/5 (x-8) -> color (carmesí) (y = 3/5 (x-8) + 1 #

Entonces, encontremos #color (cornflowerblue) (BC #:

Cuesta abajo: #-1/({1-4}/{8-7})=1/3#

Punto: #(4,9)#

Ecuación: # y-9 = 1/3 (x-4) -> color (cornflowerblue) (y = 1/3 (x-4) + 9 #

Ahora, simplemente establecemos las ecuaciones iguales entre sí, y la solución sería el ortocentro.

#color (carmesí) (3/5 (x-8) +1) = color (azul aciano) (1/3 (x-4) + 9 #

# (3x) / 5-24 / 5 + 1 = (x) / 3-4 / 3 + 9 #

# -24 / 5 + 1 + 4 / 3-9 = (x) / 3- (3x) / 5 #

# -72 / 15 + 15/15 + 20 / 15-135 / 15 = (5x) / 15- (9x) / 15 #

# -172 / 15 = (- 4x) / 15 #

#color (darkmagenta) (x = -172 / 15 * -15 / 4 = 43 #

Enchufe el #X#-value de nuevo en una de las ecuaciones originales para obtener la coordenada y.

# y = 3/5 (43-8) + 1 #

# y = 3/5 (35) + 1 #

#color (coral) (y = 21 + 1 = 22 #

Ortocentro # (color (darkmagenta) (43), color (coral) (22)) #