Utilizando la integración por partes,
# intx ^ 2sinpixdx #
#=#
# (- 1 / pi) x ^ 2cospix + ((2) / pi ^ 2) xsinpix + (2 / pi ^ 3) cospix + C #
Recuerda que la integración por partes utiliza la fórmula:
# intu # # dv # =#uv - intv # # du #
Que se basa en la regla del producto para derivados:
#uv = vdu + udv #
Para utilizar esta fórmula, debemos decidir qué término será
Trig inverso
Logaritmos
Álgebra
Trigonometría
Exponenciales
Esto le da un orden de prioridad para el cual se usa el término "
Ahora tenemos:
#u = x ^ 2 # ,#dv = sinpix #
Los siguientes artículos que necesitamos en la fórmula son "
El derivado se obtiene utilizando la regla de poder:
# d / dxx ^ 2 = 2x = du #
Para la integral, podemos usar la sustitución.
utilizando
Ahora tenemos:
#du = 2x dx # ,#v = # # (- 1 / pi) cospix #
Al conectarnos con nuestra fórmula original de integración por partes, tenemos:
# intu # # dv # =#uv - intv # # du #
#=#
# intx ^ 2sinpixdx = (-1 / pi) x ^ 2cospix - (-1 / pi) int2xcospixdx #
Ahora nos queda otra integral que debemos utilizar la Integración por Partes una vez más para resolver. Tirando de la
#intxcospixdx = (1 / pi) xsinpix - (1 / pi) intsinpixdx #
Esta última integral la podemos resolver con una ronda final de sustitución, dándonos:
# (1 / pi) intsinpixdx = (-1 / pi ^ 2) cospix #
Colocando todo lo que hemos encontrado juntos, ahora tenemos:
# (- 1 / pi) x ^ 2cospix - (-2 / pi) (1 / pi) xsinpix - (-1 / pi ^ 2) cospix #
Ahora podemos simplificar los negativos y el paréntesis para obtener nuestra respuesta final:
# intx ^ 2sinpixdx = #
# (- 1 / pi) x ^ 2cospix + ((2) / pi ^ 2) xsinpix + (2 / pi ^ 3) cospix + C #
La clave es recordar que terminará con una cadena de múltiples términos que se sumarán o restarán juntos. Continuamente está dividiendo la integral en partes más pequeñas y manejables que debe seguir para la respuesta final.
¿Cómo encuentro la integral int (ln (x)) ^ 2dx?
Nuestro objetivo es reducir la potencia de ln x para que la integral sea más fácil de evaluar. Podemos lograr esto utilizando la integración por partes. Tenga en cuenta la fórmula IBP: int u dv = uv - int v du Ahora, dejaremos que u = (lnx) ^ 2, y dv = dx. Por lo tanto, du = (2lnx) / x dx y v = x. Ahora, juntando las piezas, obtenemos: int (ln x) ^ 2 dx = x (ln x) ^ 2 - int (2xlnx) / x dx ¡Esta nueva integral se ve mucho mejor! Al simplificar un poco y traer la constante al frente, se obtiene: int (ln x) ^ 2 dx = x (ln x) ^ 2 - 2 int lnx dx Ahora, para deshacernos de esta próxima integral, har
¿Cómo encuentro la integral int (x * cos (5x)) dx?
Tendremos en cuenta la fórmula para la integración por partes, que es: int u dv = uv - int v du Para encontrar esta integral con éxito dejaremos que u = x, y dv = cos 5x dx. Por lo tanto, du = dx y v = 1/5 sin 5x. (v puede encontrarse usando una rápida sustitución de u) La razón por la que elegí x para el valor de u es porque sé que más adelante terminaré integrando v multiplicado por el derivado de u. Dado que la derivada de u es solo 1, y como la integración de una función trigonométrica por sí misma no la hace más compleja, hemos eliminado efecti
¿Cómo encuentro la integral int (x * e ^ -x) dx?
Int xe ^ (- x) dx = -xe ^ (- x) - e ^ (- x) + C Proceso: int x e ^ (- x) dx =? Esta integral requerirá integración por partes. Tenga en cuenta la fórmula: int u dv = uv - int v du Vamos a dejar u = x, y dv = e ^ (- x) dx. Por lo tanto, du = dx. Encontrar v requerirá una sustitución u; Usaré la letra q en lugar de u ya que ya lo estamos utilizando en la fórmula de integración por partes. v = int e ^ (- x) dx deja q = -x. por lo tanto, dq = -dx Reescribiremos la integral, agregando dos negativos para acomodar dq: v = -int -e ^ (- x) dx Escrito en términos de q: v = -int e ^ (q) dq