¿Cuál es el dominio y el rango de f (x) = (x + 5) / (x ^ 2 + 36)?

Responder:

El dominio es # RR # (todos los números reales) y el rango es # 5-sqrt (61)) / 72, (5 + sqrt (61)) / 72 #

(Todos los números reales entre e incluidos # (5-sqrt (61)) / 72 # y # (5 + sqrt (61)) / 72 #).

Explicación:

En el dominio, comenzamos con todos los números reales, y luego eliminamos cualquiera que nos obligue a tener la raíz cuadrada de un número negativo, o #0# en el denominador de una fracción.

De un vistazo, sabemos que como # x ^ 2> = 0 # para todos los numeros reales, # x ^ 2 + 36> = 36> 0 #. Así el denominador no será #0# para cualquier número real #X#, lo que significa que el dominio incluye todos los números reales.

Para el rango, la forma más fácil de encontrar los valores anteriores implica algunos cálculos básicos. Aunque es más largo, también es posible encontrarlos usando solo álgebra, sin embargo, con el método que se detalla a continuación.

Comenzando con la función #f (x) = (x + 5) / (x ^ 2 + 36) # Deseamos encontrar todos los valores posibles de #f (x) #. Esto es equivalente a encontrar el dominio de la función inversa. # f ^ -1 (x) # (una función con la propiedad # f ^ -1 (f (x)) = f (f ^ -1 (x)) = 1 #)

Desafortunadamente, la inversa de #f (x) # En este caso, no es una función, ya que devuelve 2 valores, sin embargo, la idea sigue siendo la misma. Comenzaremos con la ecuación. #y = (x + 5) / (x ^ 2 + 36) # y resolver para #X# para encontrar el inverso. A continuación, veremos los posibles valores de # y # para encontrar el dominio de lo inverso, y por lo tanto el rango de la función original.

Resolviendo para #X#:

#y = (x + 5) / (x ^ 2 + 36) #

# => y (x ^ 2 + 36) = x + 5 #

# => yx ^ 2 + 36y = x + 5 #

# => yx ^ 2 - x + (36y - 5) = 0 #

Tratar # y # Como constante, aplicamos la fórmula cuadrática.

# ax ^ 2 + bx + c = 0 => x = (-b + - sqrt (b ^ 2 - 4ac)) / (2a) #

para obtener

#x = (1 + - sqrt (1 - 4y (36y-5)) / (2y) #

Ahora necesitamos encontrar el dominio de la expresión anterior (tenga en cuenta que no es una función debido a la #+-#). Tenga en cuenta que al dividir por # y # En la fórmula cuadrática, perdimos la posibilidad de # y = 0 #, lo que es claramente posible en la ecuación original (para #x = -5 #). Por lo tanto, haremos caso omiso de # y # en el denominador del inverso, y solo se enfoca en la raíz cuadrada.

Como se mencionó anteriormente, no estamos permitiendo la raíz cuadrada de un valor inferior a 0, por lo que tenemos la restricción

# 1 - 4y (36y-5)> = 0 #

# => -144y ^ 2 + 20y + 1> = 0 #

Usando la fórmula cuadrática en # -144y ^ 2 + 20y + 1 = 0 # Encontramos, después de alguna simplificación, #y = (5 + -sqrt (61)) / 72 #

Finalmente, podemos decir que como # | y | # crece grande, # -144y ^ 2 + 20y + 1 # será menor que #0#. Así solo consideramos el intervalo entre

#y = (5-sqrt (61)) / 72 # y #y = (5 + sqrt (61)) / 72 #

Así que los valores permitidos para # y #, y por lo tanto el rango para #f (x) #, es

# 5-sqrt (61)) / 72, (5 + sqrt (61)) / 72 #