¿En qué intervalos la siguiente ecuación es cóncava hacia arriba, cóncava hacia abajo y dónde está el punto de inflexión es (x, y) f (x) = x ^ 8 (ln (x))?

Responder:

• Si # 0 <x <e ^ (- 15/56) # entonces #F# es cóncavo hacia abajo;
• Si #x> e ^ (- 15/56) # entonces #F# es cóncava arriba;
• # x = e ^ (- 15/56) # es un punto de inflexión (caída)

Explicación:

Analizar los puntos de concavidad e inflexión de una función dos veces diferenciable. #F#, podemos estudiar la positividad de la segunda derivada. De hecho, si # x_0 # es un punto en el dominio de #F#, entonces:

• Si #f '' (x_0)> 0 #, entonces #F# es cóncava arriba en un barrio de # x_0 #;
• Si #f '' (x_0) <0 #, entonces #F# es cóncavo hacia abajo en un barrio de # x_0 #;
• Si #f '' (x_0) = 0 # y el signo de #F''# en un vecindario justo lo suficientemente pequeño de # x_0 # es opuesto al signo de #F''# en un barrio suficientemente pequeño de izquierda # x_0 #, entonces # x = x_0 # se llama un punto de inflexión de #F#.

En el caso específico de #f (x) = x ^ 8 ln (x) #, tenemos una función cuyo dominio tiene que estar restringido a los reales positivos #RR ^ + #.

La primera derivada es

#f '(x) = 8x ^ 7 ln (x) + x ^ 8 1 / x = x ^ 7 8 ln (x) +1 #

La segunda derivada es

#f '' (x) = 7x ^ 6 8 ln (x) +1 + x ^ 7 8 / x = x ^ 6 56ln (x) +15 #

Estudiemos la positividad de #f '' (x) #:

• # x ^ 6> 0 iff x ne 0 #
• # 56ln (x) +15> 0 iff ln (x)> -15/56 iff x> e ^ (- 15/56) #

Entonces, considerando que el dominio es #RR ^ + #, tenemos eso

• Si # 0 <x <e ^ (- 15/56) # entonces #f '' (x) <0 # y #F# es cóncavo hacia abajo;
• Si #x> e ^ (- 15/56) # entonces #f '' (x)> 0 # y #F# es cóncava arriba;
• Si # x = e ^ (- 15/56) # entonces #f '' (x) = 0 #. Teniendo en cuenta que a la izquierda de este punto #F''# es negativo y a la derecha es positivo, concluimos que # x = e ^ (- 15/56) # es un punto de inflexión (caída)