Una pelota se deja caer directamente desde una altura de 12 pies. Al golpear el suelo, rebota 1/3 de la distancia que cayó. ¿Qué tan lejos viajará la pelota (hacia arriba y hacia abajo) antes de descansar?

Responder:

La pelota viajará 24 pies.

Explicación:

Este problema requiere la consideración de series infinitas. Considere el comportamiento real de la pelota:

Primero la pelota cae 12 pies.

A continuación la pelota rebota. #12/3 = 4# los pies

La pelota luego cae los 4 pies.

En cada rebote sucesivo, la bola viaja.

# 2 * 12 / (3 ^ n) = 24/3 ^ n # pies, donde #norte# es el numero de rebotes

Así, si imaginamos que el balón empieza desde #n = 0 #, entonces nuestra respuesta se puede obtener de la serie geométrica:

# sum_ (n = 0) ^ infty 24/3 ^ n - 12 #

Nota la #-12# Término de corrección, esto es porque si partimos de # n = 0 # estamos contando un 0º rebote de 12 pies hacia arriba y 12 pies hacia abajo. En realidad, la pelota solo viaja la mitad de eso, ya que comienza en el aire.

Podemos simplificar nuestra suma a:

# 24sum_ (n = 0) ^ infty 1/3 ^ n - 12 #

Esta es solo una serie geométrica simple, que sigue la regla de que:

#lim_ (n-> infty) sum_ (i = 0) ^ n r ^ i = 1 / (1 - r) #

Mientras # | r | <1 #

Esto produce una solución simple para nuestro problema:

# 24sum_ (n = 0) ^ infty 1/3 ^ n - 12 = 24 * 1 / (1-1 / 3) - 12 #

# = 24*1/(2/3) - 12 = 24*3/2 -12 #

#= 36 - 12 = 24# los pies