¿Cuál es la ecuación de la parábola con un enfoque en (5,3) y una directriz de y = -12?

Responder:

# y = x ^ 2/30-x / 3-11 / 3 #

Explicación:

La definición de una parábola establece que todos los puntos de la parábola siempre tienen la misma distancia que el foco y la directriz.

Podemos dejar # P = (x, y) #, que representará un punto general en la parábola, podemos dejar # F = (5,3) # representar el enfoque y # D = (x, -12) # representan el punto más cercano en la directriz, la #X# es porque el punto más cercano en la directriz es siempre hacia abajo.

Ahora podemos configurar una ecuación con estos puntos. Usaremos la fórmula de la distancia para calcular las distancias:

# d = sqrt ((x_2-x_1) ^ 2 + (y_2-y_1) ^ 2) #

Podemos aplicar esto a nuestros puntos para obtener primero la distancia entre #PAG# y #F#:

#d_ (PF) = sqrt ((x-5) ^ 2 + (y-3) ^ 2) #

Entonces vamos a calcular la distancia entre #PAG# y #RE#:

#d_ (PD) = sqrt ((x-x) ^ 2 + (y - (- 12)) ^ 2) #

Como estas distancias deben ser iguales entre sí, podemos ponerlas en una ecuación:

#sqrt ((x-5) ^ 2 + (y-3) ^ 2) = sqrt ((y + 12) ^ 2) #

Desde el punto #PAG# es en forma general y puede representar cualquier punto en la parábola, si solo podemos resolverlo # y # en la ecuación, nos quedaremos con una ecuación que nos dará todos los puntos en la parábola, o en otras palabras, será la ecuación de la parábola.

Primero, cuadraremos ambos lados:

# (sqrt ((x-5) ^ 2 + (y-3) ^ 2)) ^ 2 = (sqrt ((y + 12) ^ 2)) ^ 2 #

# (x-5) ^ 2 + (y-3) ^ 2 = (y + 12) ^ 2 #

Entonces podemos ampliar:

# x ^ 2-10x + 25 + y ^ 2-6y + 9 = y ^ 2 + 24y + 144 #

Si ponemos todo a la izquierda y recopilamos términos semejantes, obtenemos:

# x ^ 2-10x-110-30y = 0 #

# 30y = x ^ 2-10x-110 #

# y = x ^ 2 / 30- (10x) / 30-110 / 30 #

# y = x ^ 2/30-x / 3-11 / 3 #

Cuál es la ecuación de nuestra parábola.