Probar que (aVb) ^ n = a ^ n V b ^ n?

Responder:

(ver abajo para la prueba)

Explicación:

Supongamos que el mayor factor común de #una# y #segundo# es # k #

es decir # (aVb) = k # Usando la notación en esta pregunta.

Esto significa que

#color (blanco) ("XXX") a = k * p #

#color (blanco) ("XXX") b = k * q #

(para # k, p, q en NN) #

dónde

#color (blanco) ("XXX") #los factores primordiales de #pag#: # {p_1, p_2, …} #

#color (blanco) ("XXX") #y

#color (blanco) ("XXX") #los factores primordiales de # q #: # {q_1, q_2, …} #

#color (blanco) ("XXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXX") #No tienen elementos comunes.

De la definición de # k # (encima)

tenemos # (aVb) ^ n = k ^ n #

Promover

#color (blanco) ("XXX") a ^ n = (k * p) ^ n = k ^ n * p ^ n #

#color (blanco) ("XXX") b ^ n = (k * q) ^ n = k ^ n * q ^ n #

dónde # p ^ n # y # q ^ n # no pueden tener factores primos comunes (ya que #pag# y # q # no tienen factores primos comunes

Por lo tanto

#color (blanco) ("XXX") a ^ nVb ^ n = k ^ n #

…y

# (aVb) ^ n = a ^ nVb ^ n #

Se sabe que la ecuación bx ^ 2- (a-3b) x + b = 0 tiene una raíz real. Probar que la ecuación x ^ 2 + (a-b) x + (ab-b ^ 2 + 1) = 0 no tiene raíces reales.

Vea abajo. Las raíces para bx ^ 2- (a-3b) x + b = 0 son x = (a - 3 b pmsqrt [a ^ 2 - 6 ab + 5 b ^ 2]) / (2 b) Las raíces serán coincidentes y real si a ^ 2 - 6 ab + 5 b ^ 2 = (a - 5 b) (a - b) = 0 o a = b o a = 5b Ahora resolvemos x ^ 2 + (ab) x + (ab-b) ^ 2 + 1) = 0 tenemos x = 1/2 (-a + b pm sqrt [a ^ 2 - 6 ab + 5 b ^ 2-4]) La condición para las raíces complejas es a ^ 2 - 6 ab + 5 b ^ 2-4 lt 0 ahora haciendo a = b o a = 5b tenemos a ^ 2 - 6 ab + 5 b ^ 2-4 = -4 <0 Concluyendo, si bx ^ 2- (a-3b) x + b = 0 tiene raíces reales coincidentes, entonces x ^ 2 + (ab) x + (ab-b ^ 2 + 1) = 0 tendr&

Tenemos a, b, c, dinRR tal que ab = 2 (c + d). Cómo probar que al menos una de las ecuaciones x ^ 2 + ax + c = 0; x ^ 2 + bx + d = 0 tienen raíces dobles?

La afirmación es falsa. Considere las dos ecuaciones cuadráticas: x ^ 2 + ax + c = x ^ 2-5x + 6 = (x-2) (x-3) = 0 y x ^ 2 + bx + d = x ^ 2-2x-1 = (x-1-sqrt (2)) (x-1 + sqrt (2)) = 0 Entonces: ab = (-5) (- 2) = 10 = 2 (6-1) = 2 (c + d) ) Ambas ecuaciones tienen raíces reales distintas y: ab = 2 (c + d) Por lo tanto, la afirmación es falsa.

Tenemos x, y, t inRR, de modo que x + y + t = 2, xy + yt + xt = 1. ¿Cómo probar que x, y, t en [0,4 / 3]?

Vea abajo. Centrándose en t Encontrar ((min), (max)) t sometido a g_1 (x, y, t) = x + y + t-2 = 0 y g_2 (x, y, t) = xy + yt + xt- 1 = 0 Formando el lagrangiano L (x, y, t, lambda_1, lambda_2) = t + lambda_1 g_1 (x, y, t) + lambda_2 g_2 (x, y, t) Las condiciones estacionarias son grad L = 0 o { (lambda_1 + lambda_2 (t + y) = 0), (lambda_1 + lambda_2 (t + x) = 0), (1 + lambda_1 + lambda_2 (x + y) = 0), (t + x + y = 2) , (tx + ty + xy = 1):} Resolviendo obtenemos ((x, y, t, lambda_1, lambda_2), (1,1,0,1, -1), (1 / 3,1 / 3, 4/3, -5 / 3,1)) así que podemos ver que t en [0,4 / 3] Haciendo este procedimiento para xey ob