¿Cómo elegir dos números para los cuales la suma de sus raíces cuadradas sea mínima, sabiendo que el producto de los dos números es un?

Responder:

# x = y = sqrt (a) #

Explicación:

# x * y = a => x * y - a = 0 #

#f (x, y) = sqrt (x) + sqrt (y) "es mínimo" #

# "Podríamos trabajar con el multiplicador de Lagrange L:" #

#f (x, y, L) = sqrt (x) + sqrt (y) + L (x * y-a) #

# "Derivando los rendimientos:" #

# {df} / dx = 1 / (2 * sqrt (x)) + L * y = 0 #

# {df} / dy = 1 / (2 * sqrt (y)) + L * x = 0 #

# {df} / {dL} = x * y-a = 0 #

# => y = a / x #

# => {df} / dy = 1 / (2 * sqrt (a / x)) + L * x = 0 #

# = sqrt (x) / (2 * sqrt (a)) + L * x = 0 #

# => {df} / dx = 1 / (2 * sqrt (x)) + L * a / x = 0 #

# => sqrt (x) / 2 + L * a = 0 "(después de multiplicar con x"! = "0)" #

# => L = - sqrt (x) / (2 * a) #

# => sqrt (x) / (2 * sqrt (a)) - sqrt (x) * x / (2 * a) = 0 #

# => 1 / (2 * sqrt (a)) - x / (2 * a) = 0 #

# => x = sqrt (a) #

# => y = sqrt (a) #

# => L = -a ^ (1/4) / (2 * a) <0 => "MÍNIMO" #

# "Ahora todavía tenemos que marcar x = 0." #

# "Esto es imposible ya que x * y = 0 entonces." #

# "Así que tenemos la solución única" #

# x = y = sqrt (a) #

Responder:

Trataré de llevarte a través del método de solución a continuación.

Explicación:

¿Qué estamos buscando?

Dos numeros Vamos a darles nombres, #X# y # y #.

Vuelva a leer la pregunta.

Queremos hacer que la suma de las raíces cuadradas sea mínima.

Esto nos dice dos cosas

(1) ambos números son no negativos (para evitar imaginarios)

(2) Estamos interesados en el valor de # sqrtx + sqrty #

Vuelva a leer la pregunta.

También se nos dice que el producto de #X# y # y # es #una#.

Quien elige #una#?

En general, si un ejercicio dice algo sobre #una# o #segundo# o #do#, las tomamos como constantes dadas por otra persona.

Para que nos digan "el producto de #X# y # y # es #11#'

o "el producto de #X# y # y # es #124#'.

Tenemos que resolver todos estos a la vez diciendo # xy = a # por alguna constante #una#.

Entonces, queremos hacer # sqrtx + sqrty # tan pequeño como sea posible # xy = a # por alguna constante #una#.

Esto parece un problema de optimización y es uno. Así que quiero una función de una variable para minimizar.

# sqrtx + sqrty # tiene dos variables, #X# y # y #

# xy = a # También tiene dos variables, #X# y # y # (recuerda #una# es una constante)

Asi que #y = a / x #

Ahora queremos minimizar:

#f (x) = sqrtx + sqrt (a / x) = sqrtx + sqrta / sqrtx #

Encuentre el derivado, luego los números críticos y pruebe los números críticos. Terminar de encontrar # y #.

#f '(x) = (x-sqrta) / (2x ^ (3/2)) #

Crítico # sqrta #

#f '(x) <0 # para #x <sqrta # y #f '(x)> 0 # para #x> sqrta #, asi que #f (sqrta) # es un mínimo

#x = sqrta # y #y = a / x = sqrta #

Responder:

# 2 raíz (4) (a) #

Explicación:

Lo sabemos por #x_i> 0 # tenemos

# (x_1 x_2 cdots x_n) ^ { frac {1} {n}} le frac {x_1 + x_2 + cdots + x_n} {n} #

entonces

# x_1 + x_2 ge 2 sqrt (x_1 x_2) # entonces

# sqrtx_1 + sqrt x_2 ge 2 root (4) (x_1x_2) #

pero # x_1x_2 = a # entonces

# sqrtx_1 + sqrt x_2 ge 2 root (4) (a) #