Sea G el grupo cíclico y G = 48. ¿Cómo encuentras todos los subgrupos de G?

Responder:

Los subgrupos son todos cíclicos, con órdenes divisorias. #48#

Explicación:

Todos los subgrupos de un grupo cíclico son ellos mismos cíclicos, con órdenes que son divisores del orden del grupo.

Para ver por qué, supongamos # G = <a> # es cíclico con orden #NORTE# y #H sube G # es un subgrupo

Si # a ^ m en H # y # a ^ n en H #, entonces asi es # a ^ (pm + qn) # para cualquier número entero #p, q #.

Asi que # a ^ k en H # dónde #k = GCF (m, n) # y ambos # a ^ m # y # a ^ n # están en # <a ^ k> #.

En particular, si # a ^ k en H # con #GCF (k, N) = 1 # entonces #H = <a> = G #.

Tambien no que si #mn = N # entonces # <a ^ m> # es un subgrupo de #SOL# Con orden #norte#.

Podemos deducir:

• # H # no tiene más que #1# generador.
• El orden de # H # es un factor de #NORTE#.

En nuestro ejemplo #N = 48 # y los subgrupos son isomorfos para:

# C_1 #, # C_2 #, # C_3 #, # C_4 #, # C_6 #, # C_8 #, # C_12 #, # C_16 #, # C_24 #, # C_48 #

siendo:

#< >#, # <a ^ 24> #, # <a ^ 16> #, # <a ^ 12> #, # <a ^ 8> #, # <a ^ 6> #, # <a ^ 4> #, # <a ^ 3> #, # <a ^ 2> #, # <a> #