¿Demostrar que el área sombreada de color púrpura es igual al área del círculo del triángulo equilátero (círculo rayado amarillo)?

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Explicación:

El área del incircle es # pir ^ 2 #.

Observando el triángulo rectángulo con hipotenusa. # R # y la pierna # r # en la base del triángulo equilátero, a través de la trigonometría o las propiedades de #30 -60 -90 # triángulos rectos podemos establecer la relación que # R = 2r #.

Tenga en cuenta que el ángulo opuesto # r # es #30 # desde el triángulo equilátero #60 # El ángulo fue bisecado.

Este mismo triángulo se puede resolver a través del teorema de Pitágoras para mostrar que la mitad de la longitud del lado del triángulo equilátero es #sqrt (R ^ 2-r ^ 2) = sqrt (4r ^ 2-r ^ 2) = rsqrt3 #.

Ahora, examinando la mitad del triángulo equilátero como un triángulo rectángulo, vemos que la altura # h # del triángulo equilátero se puede resolver en términos de # r # usando la relación #tan (60) = h / (rsqrt3) #. Ya que #tan (60) = sqrt3 #, esto se convierte en # h / (rsqrt3) = sqrt3 # asi que # h = 3r #.

El área del triángulo equilátero es entonces # 1 / 2bh #, y su base es # 2rsqrt3 # y su altura # 3r #. Por lo tanto, su área es # 1/2 (2rsqrt3) (3r) = 3r ^ 2sqrt3 #.

El área de la región sombreada más pequeña es igual a un tercio del área del triángulo equilátero menos el incircle, o # 1/3 (3r ^ 2sqrt3-pir ^ 2) # que es equivalente a # r ^ 2 ((3sqrt3-pi) / 3) #.

El área del círculo más grande es # piR ^ 2 = pi (2r) ^ 2 = 4pir ^ 2 #.

El área de la región sombreada más grande es un tercio del área del círculo más grande menos el área del triángulo equilátero, o # 1/3 (4pir ^ 2-3r ^ 2sqrt3) # lo que simplifica ser # r ^ 2 ((4pi-3sqrt3) / 3) #.

El área total del área sombreada es entonces # r ^ 2 ((3sqrt3-pi) / 3) + r ^ 2 ((4pi-3sqrt3) / r) = r ^ 2 ((3sqrt3-3sqrt3-pi + 4pi) / 3) = r ^ 2 ((3pi) / 3) = pir ^ 2 #, que es equivalente al área del incircle.

Responder:

Explicación:

Para un triángulo equilátero. Centro de gravedad, centro de circuncisión y ortocentro coinciden..

Por lo tanto, el radio de cicumcircle (R) y el radio de incircle (r) tendrán la siguiente relación

#R: r = 2: 1 => R = 2r #

Ahora de la figura es obvio que área de la gran región sombreada púrpura# = 1/3 (piR ^ 2-Delta) #

Y área de la pequeña región sombreada púrpura# = 1/3 (Delta-pir ^ 2) #

dónde #Delta # Representa el área del triángulo equilátero.

Asi que

#color (púrpura) ("Área TOTAL de la región sombreada GRANDE y PEQUEÑA púrpura" #

# = 1/3 (piR ^ 2-Delta) +1/3 (Delta-pir ^ 2) #

# = 1/3 (piR ^ 2-cancelDelta + cancelDelta-pir ^ 2) #

Insertando R = 2r

# = 1/3 (pi (2r) ^ 2-pir ^ 2) #

# = 1/3 (4pir ^ 2-pir ^ 2) #

# = 1 / cancel3xxcancel3pir ^ 2 #

# = pir ^ 2-> color (naranja) "Área del círculo con rayas amarillas" #