Tenemos un círculo con un cuadrado inscrito con un círculo inscrito con un triángulo equilátero inscrito. El diámetro del círculo exterior es de 8 pies. El material del triángulo cuesta $ 104.95 por pie cuadrado. ¿Cuál es el costo del centro triangular?

Responder:

El costo de un centro triangular es $ 1090.67

Explicación:

#AC = 8 # como un diámetro dado de un círculo.

Por lo tanto, del Teorema de Pitágoras para el triángulo isósceles correcto #Delta ABC #, #AB = 8 / sqrt (2) #

Entonces, desde #GE = 1/2 AB #, #GE = 4 / sqrt (2) #

Obviamente, triangulo #Delta GHI # es equilátero.

Punto #MI# Es un centro de un círculo que circunscribe. #Delta GHI # y, como tal, es un centro de intersección de medianas, altitudes y ángulos de este triángulo.

Se sabe que un punto de intersección de medianas divide estas medianas en la proporción 2: 1 (para ver la prueba, vea Unizor y siga los enlaces Geometría - Líneas paralelas - Mini Teoremas 2 - Teorema 8)

Por lo tanto, # GE # es #2/3# de toda la mediana (y altitud, y ángulo bisectriz) del triángulo #Delta GHI #.

Por lo tanto, sabemos la altitud # h # de #Delta GHI #, es igual a #3/2# multiplicado por la longitud de # GE #:

#h = 3/2 * 4 / sqrt (2) = 6 / sqrt (2) #

Conocimiento # h #, podemos calcular la longitud del lado #una# de #Delta GHI # utilizando el teorema de Pitágoras:

# (a / 2) ^ 2 + h ^ 2 = a ^ 2 #

De lo que sigue:

# 4h ^ 2 = 3a ^ 2 #

# a = (2h) / sqrt (3) #

Ahora podemos calcular #una#:

#a = (2 * 6) / (sqrt (2) * sqrt (3)) = 2sqrt (6) #

El área de un triángulo es, por lo tanto, #S = 1 / 2ah = 1/2 * 2sqrt (6) * 6 / sqrt (2) = 6sqrt (3) #

A un precio de $ 104.95 por pie cuadrado, el precio de un triángulo es

#P = 104.95 * 6sqrt (3) ~~ 1090.67 #