Este es un problema relacionado con las tasas (de cambio).
La velocidad a la que se sopla el aire se medirá en volumen por unidad de tiempo. Esa es una tasa de cambio de volumen con respecto al tiempo. La velocidad a la que se sopla el aire es la misma que la del volumen del globo.
Sabemos
Diferenciar
Conecta lo que sabes y resuelve lo que no sabes.
El aire está siendo soplado a una velocidad de
El radio de un globo esférico está aumentando a una velocidad de 2 centímetros por minuto. ¿Qué tan rápido cambia el volumen cuando el radio es de 14 centímetros?
1568 * pi cc / minuto Si el radio es r, entonces la tasa de cambio de r con respecto al tiempo t, d / dt (r) = 2 cm / minuto Volumen como función del radio r para un objeto esférico es V ( r) = 4/3 * pi * r ^ 3 Necesitamos encontrar d / dt (V) en r = 14cm Ahora, d / dt (V) = d / dt (4/3 * pi * r ^ 3) = (4pi) / 3 * 3 * r ^ 2 * d / dt (r) = 4pi * r ^ 2 * d / dt (r) Pero d / dt (r) = 2cm / minuto. Por lo tanto, d / dt (V) en r = 14 cm es: 4pi * 14 ^ 2 * 2 cm cúbico / minuto = 1568 * pi cc / minuto
El sol brilla y una bola de nieve esférica de 340 pies cúbicos se está derritiendo a una velocidad de 17 pies cúbicos por hora. A medida que se derrite, permanece esférico. ¿A qué velocidad cambia el radio después de 7 horas?
V = 4 / 3r ^ 3pi (dV) / (dt) = 4/3 (3r ^ 2) (dr) / dtpi (dV) / (dt) = (4r ^ 2) (dr) / (dt) pi ahora Miramos nuestras cantidades para ver lo que necesitamos y lo que tenemos. Por lo tanto, sabemos la velocidad a la que el volumen está cambiando. También conocemos el volumen inicial, que nos permitirá resolver el radio. Queremos saber la velocidad a la que cambia el radio después de 7 horas. 340 = 4 / 3r ^ 3pi 255 = r ^ 3pi 255 / pi = r ^ 3 raíz (3) (255 / pi) = r Insertamos este valor para "r" dentro de la derivada: (dV) / (dt) = 4 (raíz (3) (255 / pi)) ^ 2 (dr) / (dt) pi Sabemos que
El agua sale de un tanque cónico invertido a una velocidad de 10,000 cm3 / min al mismo tiempo que se bombea agua al tanque a una velocidad constante Si el tanque tiene una altura de 6 m y el diámetro en la parte superior es de 4 my Si el nivel del agua aumenta a una velocidad de 20 cm / min cuando la altura del agua es de 2 m, ¿cómo encuentra la velocidad a la que se está bombeando el agua al tanque?
Sea V el volumen de agua en el tanque, en cm ^ 3; Sea h la profundidad / altura del agua, en cm; y sea r el radio de la superficie del agua (en la parte superior), en cm. Como el tanque es un cono invertido, también lo es la masa de agua. Como el tanque tiene una altura de 6 my un radio en la parte superior de 2 m, triángulos similares implican que frac {h} {r} = frac {6} {2} = 3, de modo que h = 3r. El volumen del cono de agua invertido es entonces V = frac {1} {3} pi r ^ {2} h = pi r ^ {3}. Ahora diferencie ambos lados con respecto al tiempo t (en minutos) para obtener frac {dV} {dt} = 3 pi r ^ {2} cdot frac {d