¿Cuál es el vector unitario que es ortogonal al plano que contiene (-i + j + k) y (3i + 2j - 3k)?

Responder:

Hay dos vectores de unidades aquí, dependiendo de su orden de operaciones. Son # (- 5i + 0j -5k) # y # (5i + 0j 5k) #

Explicación:

Cuando toma el producto cruzado de dos vectores, está calculando el vector que es ortogonal a los dos primeros. Sin embargo, la solución de # vecAoxvecB # Por lo general es igual y opuesta en magnitud de # vecBoxvecA #.

Como refrescante rápido, un producto cruzado de # vecAoxvecB # construye una matriz de 3x3 que se parece a:

# | i j k | #

# | A_x A_y A_z | #

# | B_x B_y B_z | #

y obtienes cada término al tomar el producto de los términos diagonales que van de izquierda a derecha, comenzando desde una letra vectorial de unidad dada (i, j, o k) y restando el producto de los términos diagonales que van de derecha a izquierda, comenzando por el misma unidad de letra vectorial:

# (A_yxxB_z-A_zxxB_y) i + (A_zxxB_x-A_x xxBz) j + (A_x xxB_y-A_yxxB_x) k #

Para las dos soluciones, vamos a configurar:

#vecA = - i + j + k #

# vecB = 3i + 2j-3k #

Veamos ambas soluciones:

1. # vecAoxvecB #

Como se indicó anteriormente:

# vecAoxvecB = (A_yxxB_z-A_zxxB_y) i + (A_zxxB_x-A_x xxBz) j + (A_x xxB_y-A_yxxB_x) k #

# vecAoxvecB = (1xx (-3) -1xx2) i + (1xx3 - (- 1) xx (-3)) j + (- 1 xx2-1xx3) k #

#vecAoxvecB = (- 3-2) i + (3-3) j + (- 2-3) k #

#color (rojo) (vecAoxvecB = -5i + 0j-5k #

1. # vecBoxvecA #

Como un giro a la primera formulación, vuelve a tomar las diagonales, pero la matriz tiene una forma diferente:

# | i j k | #

# | B_x B_y B_z | #

# | A_x A_y A_z | #

# vecBoxvecA = (A_zxxB_y-A_yxxB_z) i + (A_x xxB_z-A_z xxBx) j + (A_y xxB_x-A_x xxB_y) k #

Observe que las restas se voltean alrededor. Esto es lo que causa la forma 'Igual y opuesta'.

# vecBoxvecA = (1xx2-1xx (-3)) i + ((- 1) xx (-3) -1 xx3) j + (1 xx3 - (- 1) xx2) k #

# vecBoxvecA = (2 - (- 3)) i + (3-3) j + (3 - (- 2)) k #

#color (azul) (vecBoxvecA = 5i + 0j + 5k #