Sea S un cuadrado de área unitaria. Considere cualquier cuadrilátero que tenga un vértice en cada lado de S. Si a, b, c y d denotan las longitudes de los lados del cuadrilátero, demuestre que 2 <= a ^ 2 + b ^ 2 + c ^ 2 + d ^ 2 <= 4?

Dejar #A B C D# Ser un cuadrado de unidad de área.

Asi que # AB = BC = CD = DA = 1 # unidad.

Dejar # PQRS # sea un cuadrilátero que tenga un vértice a cada lado del cuadrado. Aquí vamos # PQ = b, QR = c, RS = dandSP = a #

Aplicando el torem de Pitágoras podemos escribir.

# a ^ 2 + b ^ 2 + c ^ 2 + d ^ 2 #

# = x ^ 2 + y ^ 2 + (1-x) ^ 2 + (1-w) ^ 2 + w ^ 2 + (1-z) ^ 2 + z ^ 2 + (1-y) ^ 2 #

# = 4 + 2 (x ^ 2 + y ^ 2 + z ^ 2 + w ^ 2-x-y-z-w) #

# = 2 + 2 (1 + x ^ 2 + y ^ 2 + z ^ 2 + w ^ 2-x-y-z-w) #

# = 2 + 2 ((x-1/2) ^ 2 + (y-1/2) ^ 2 + (z-1/2) ^ 2 + (w-1/2) ^ 2) #

Ahora por el problema que tenemos

# 0 <= x <= 1 => 0 <= (x-1/2) ^ 2 <= 1/4 #

# 0 <= y <= 1 => 0 <= (y-1/2) ^ 2 <= 1/4 #

# 0 <= z <= 1 => 0 <= (z-1/2) ^ 2 <= 1/4 #

# 0 <= w <= 1 => 0 <= (w-1/2) ^ 2 <= 1/4 #

Por lo tanto

# 2 <= a ^ 2 + b ^ 2 + c ^ 2 + d ^ 2 <= 4 #