¿Por qué no podemos integrar x ^ x?

Responder:

No tenemos una regla para ello.

Explicación:

En las integrales, tenemos reglas estándar. La regla anti-cadena, la regla anti-producto, la regla anti-poder, y así sucesivamente. Pero no tenemos uno para una función que tiene una #X# Tanto en la base como en el poder. Podemos tomar la derivada de eso muy bien, pero tratar de tomar su parte integral es imposible debido a la falta de reglas con las que trabajaría.

Si abre la calculadora gráfica Desmos, puede intentar conectarla

# int_0 ^ x a ^ ada #

y lo graficará muy bien. Pero si intentas usar la regla anti-potencia o la regla anti-exponente para graficar contra ella, verás que falla. Cuando intenté encontrarlo (en el que todavía estoy trabajando), mi primer paso fue alejarlo de este formulario y llevarlo a lo siguiente:

# inte ^ (xln (x)) dx #

Esto esencialmente nos permite usar las reglas del cálculo un poco mejor. Pero incluso cuando se usa Integración por Partes, nunca se deshace de la integral. Por lo tanto, realmente no obtienes una función para determinarla.

Pero como siempre en matemáticas, es divertido experimentar.Así que adelante e inténtalo, pero no demasiado largo ni demasiado duro, serás absorbido por este agujero de conejo.

Responder:

Vea abajo.

Explicación:

#y = x ^ x # Se puede integrar. Por ejemplo

# int_0 ^ 1 x ^ x dx = 0.783430510712135 … #

Otra cosa es tener ahora un día, una función. #f (x) # que representa en forma cerrada, la primitiva para # x ^ x # o en otras palabras, tal que

# d / (dx) f (x) = x ^ x #

Si esto fuera una función de uso común en problemas técnico-científicos, seguramente habríamos inventado un nombre y un símbolo diferenciados para manipularlo. Como la función de Lambert definida como

#W (x) = x e ^ x #

Responder:

Por favor ver más abajo.

Explicación:

Como Cesareo ha indicado (sin decir), hay cierta ambigüedad en "no podemos integrar".

La función #f (x) = x ^ x # es continuo en # (0, oo) #

y en # 0, oo) # si hacemos #f (0) = 1 #, así que vamos a hacer eso. Por lo tanto, la integral definida

# int_a ^ b x ^ x dx # existe para todos # 0 <= a <= b #

Además, el teorema fundamental del cálculo nos dice que la función # int_0 ^ x t ^ t dt # tiene un derivado # x ^ x # para #x> = 0 #

Lo que no podemos hacer es expresar esta función en forma agradable, finita y cerrada de expresiones algebraicas (o incluso bien conocer funciones trascendentales).

Hay muchas cosas en matemáticas que no se pueden expresar excepto en una forma que permita aproximaciones sucesivamente mejores.

Por ejemplo:

El numero cuyo cuadrado es #2# no se puede expresar en forma decimal o fraccional usando una expresión finita. Así que le damos un símbolo, # sqrt2 # y aproximarlo a cualquier nivel de precisión deseado.

La relación de la circunferencia al diámetro de un círculo no se puede expresar de manera finita utilizando una combinación algebraica finita de números enteros, por lo que le damos un nombre, #Pi# y aproximarlo a cualquier nivel de precisión deseado.

La solucion para # x = cosx # también se puede aproximar a cualquier grado de precisión deseado, pero no se puede expresar de forma finita. Este número (tal vez) no es lo suficientemente importante como para darle un nombre.

Como ha dicho Cesareo, si la integral de # x ^ x # Tenía muchas aplicaciones, los matemáticos adoptarían un nombre para ello.

Pero los cálculos todavía requerirían una aproximación infinita.