¿Cómo determina si la integral impropia converge o diverge en int 1 / [sqrt x] de 0 a infinito?

Responder:

La integral diverge.

Explicación:

Podríamos usar la prueba de comparación para integrales impropias, pero en este caso la integral es tan simple de evaluar que solo podemos calcularla y ver si el valor está acotado.

# int_0 ^ oo1 / sqrtx dx = int_0 ^ oox ^ (- 1/2) = 2sqrtx _0 ^ oo = lim_ (x-> oo) (2sqrtx) -2sqrt (0) = lim_ (x-> oo) (2sqrtx) = oo #

Esto significa que la integral diverge.

Usando la definición de convergencia, ¿cómo prueba que la secuencia {5+ (1 / n)} converge de n = 1 al infinito?

Sea: a_n = 5 + 1 / n luego para cualquier m, n en NN con n> m: abs (a_m-a_n) = abs ((5 + 1 / m) - (5 + 1 / n)) abs (a_m -a_n) = abs (5 + 1 / m -5-1 / n) abs (a_m-a_n) = abs (1 / m -1 / n) como n> m => 1 / n <1 / m: abs (a_m-a_n) = 1 / m -1 / n y como 1 / n> 0: abs (a_m-a_n) <1 / m. Dado cualquier número real épsilon> 0, elija entonces un número entero N> 1 / epsilon. Para cualquier número entero m, n> N tenemos: abs (a_m-a_n) <1 / N abs (a_m-a_n) <epsilon que demuestra la condición de Cauchy para la convergencia de una secuencia.

Usando la definición de convergencia, ¿cómo prueba que la secuencia {2 ^ -n} converge de n = 1 al infinito?

Utilice las propiedades de la función exponencial para determinar N, como | 2 ^ (- n) -2 ^ (- m) | <épsilon para cada m, n> N La definición de convergencia indica que {a_n} converge si: AA épsilon> 0 "" EE N: AA m, n> N "" | a_n-a_m | <épsilon Entonces, dado épsilon> 0 toma N> log_2 (1 / epsilon) y m, n> N con m <n As m <n, (2 ^ (- m) - 2 ^ (- n))> 0 as | 2 ^ (- m) - 2 ^ (- n) | = 2 ^ (- m) - 2 ^ (- n) 2 ^ (- m) - 2 ^ (- n) = 2 ^ (- m) (1- 2 ^ (mn)) Ahora como 2 ^ x siempre es positivo, (1 2 ^ (mn)) <1, entonces 2 ^ (- m) - 2 ^ (- n) <

Supongamos que a_n es monótono y converge y b_n = (a_n) ^ 2. ¿B_n converge necesariamente?

Sí. Sea l = lim_ (n -> + oo) a_n. a_n es monótono, así que b_n también será monótono, y lim_ (n -> + oo) b_n = lim_ (n -> + oo) (a_n) ^ 2 = (lim_ (n -> + oo) (a_n)) ^ 2 = l ^ 2. Es como con las funciones: si f y g tienen un límite finito en a, entonces el producto f.g tendrá un límite en a.