Usando la definición de convergencia, ¿cómo prueba que la secuencia {2 ^ -n} converge de n = 1 al infinito?

$Usando la definición de convergencia, ¿cómo prueba que la secuencia {2 ^ -n} converge de n = 1 al infinito?$

Responder:

Usa las propiedades de la función exponencial para determinar N tal como # | 2 ^ (- n) -2 ^ (- m) | <épsilon # para cada # m, n> N #

Explicación:

La definición de convergencia establece que la #{un}# converge si:

#AA epsilon> 0 "" EE N: AA m, n> N "" | a_n-a_m | <épsilon #

Entonces, dado #epsilon> 0 # tomar #N> log_2 (1 / epsilon) # y # m, n> N # con #m <n #

Como #m <n #, # (2 ^ (- m) - 2 ^ (- n))> 0 # asi que # | 2 ^ (- m) - 2 ^ (- n) | = 2 ^ (- m) - 2 ^ (- n) #

# 2 ^ (- m) - 2 ^ (- n) = 2 ^ (- m) (1 - 2 ^ (m-n)) #

No fue # 2 ^ x # siempre es positivo, # (1- 2 ^ (m-n)) <1 #, asi que

# 2 ^ (- m) - 2 ^ (- n) <2 ^ (- m) #

Y como # 2 ^ (- x) # está disminuyendo estrictamente y #m> N> log_2 (1 / epsilon) #

# 2 ^ (- m) - 2 ^ (- n) <2 ^ (- m) <2 ^ (- N) <2 ^ (- log_2 (1 / epsilon) #

Pero:

# 2 ^ (- log_2 (1 / epsilon)) = 2 ^ (log_2 (epsilon)) = epsilon #

Asi que:

# | 2 ^ (- m) - 2 ^ (- n) | <épsilon #

Q.E.D.

El primer y segundo término de una secuencia geométrica son, respectivamente, el primer y tercer término de una secuencia lineal. El cuarto término de la secuencia lineal es 10 y la suma de sus primeros cinco términos es 60 ¿Encontrar los primeros cinco términos de la secuencia lineal?

{16, 14, 12, 10, 8} Una secuencia geométrica típica puede representarse como c_0a, c_0a ^ 2, cdots, c_0a ^ ky una secuencia aritmética típica como c_0a, c_0a + Delta, c_0a + 2Delta, cdotas, c_0a + kDelta Llamando a c_0 a como el primer elemento para la secuencia geométrica tenemos {(c_0 a ^ 2 = c_0a + 2Delta -> "El primero y segundo de GS son el primero y el tercero de un LS"), (c_0a + 3Delta = 10- > "El cuarto término de la secuencia lineal es 10"), (5c_0a + 10Delta = 60 -> "La suma de sus primeros cinco términos es 60"):} Resolviendo para c_0, a, D

Usando la definición de convergencia, ¿cómo prueba que la secuencia {5+ (1 / n)} converge de n = 1 al infinito?

Sea: a_n = 5 + 1 / n luego para cualquier m, n en NN con n> m: abs (a_m-a_n) = abs ((5 + 1 / m) - (5 + 1 / n)) abs (a_m -a_n) = abs (5 + 1 / m -5-1 / n) abs (a_m-a_n) = abs (1 / m -1 / n) como n> m => 1 / n <1 / m: abs (a_m-a_n) = 1 / m -1 / n y como 1 / n> 0: abs (a_m-a_n) <1 / m. Dado cualquier número real épsilon> 0, elija entonces un número entero N> 1 / epsilon. Para cualquier número entero m, n> N tenemos: abs (a_m-a_n) <1 / N abs (a_m-a_n) <epsilon que demuestra la condición de Cauchy para la convergencia de una secuencia.

Usando la definición de convergencia, ¿cómo prueba que la secuencia lim 1 / (6n ^ 2 + 1) = 0 converge?

Dado cualquier número épsilon> 0 elija M> 1 / sqrt (6epsilon), con M en NN. Entonces, para n> = M tenemos: 6n ^ 2 + 1> 6n ^ 2> 6M ^ 2> = 6 / (6epsilon) = 1 / epsilon y así: n> = M => 1 / (6n ^ 2 + 1) <épsilon que demuestra el límite.