Usando la definición de convergencia, ¿cómo prueba que la secuencia {5+ (1 / n)} converge de n = 1 al infinito?

Dejar:

#a_n = 5 + 1 / n #

entonces para cualquier # m, n en NN # con #n> m #:

#abs (a_m-a_n) = abs ((5 + 1 / m) - (5 + 1 / n)) #

#abs (a_m-a_n) = abs (5 + 1 / m -5-1 / n) #

#abs (a_m-a_n) = abs (1 / m -1 / n) #

como #n> m => 1 / n <1 / m #:

#abs (a_m-a_n) = 1 / m -1 / n #

y como # 1 / n> 0 #:

#abs (a_m-a_n) <1 / m #.

Dado cualquier numero real #epsilon> 0 #, elige entonces un entero #N> 1 / epsilon #.

Para cualquier enteros # m, n> N # tenemos:

#abs (a_m-a_n) <1 / N #

#abs (a_m-a_n) <epsilon #

lo que prueba la condición de Cauchy para la convergencia de una secuencia.