¿Cuál es el logaritmo de un número negativo?

Los logaritmos de los números negativos no se definen en los números reales, de la misma manera que las raíces cuadradas de los números negativos no se definen en los números reales. Si se espera que encuentre el registro de un número negativo, una respuesta de "no definido" es suficiente en la mayoría de los casos.

Eso es Es posible evaluar uno, sin embargo, la respuesta será un número complejo. (un número de la forma #a + bi #, dónde #i = sqrt (-1) #)

Si estás familiarizado con los números complejos y te sientes cómodo trabajando con ellos, sigue leyendo.

Primero, comencemos con un caso general:

#log_b (-x) =? #

Usaremos la regla de cambio de base y convertiremos a logaritmos naturales, para facilitar las cosas más adelante:

#log_b (-x) = ln (-x) / lnb #

Tenga en cuenta que #ln (-x) # es lo mismo que #ln (-1 * x) #. Podemos explotar la propiedad de adición de los logaritmos y separar esta parte en dos registros separados:

#log_b (-x) = (lnx + ln (-1)) / lnb #

Ahora el único problema es averiguar qué #ln (-1) # es. Puede parecer algo imposible de evaluar al principio, pero existe una ecuación muy famosa conocida como la Identidad de Euler que puede ayudarnos.

Los estados de identidad de Euler:

# e ^ (ipi) = -1 #

Este resultado proviene de las expansiones de potencia de seno y coseno. (No lo explicaré en profundidad, pero si está interesado, aquí hay una buena página que explica un poco más)

Por ahora, simplemente tomemos el registro natural de ambos lados de la identidad de Euler:

#ln e ^ (ipi) = ln (-1) #

Simplificado:

#ipi = ln (-1) #

Entonces, ahora que sabemos qué #ln (-1) # Es, podemos sustituir de nuevo en nuestra ecuación:

#log_b (-x) = (lnx + ipi) / lnb #

Ahora tienes una fórmula para encontrar registros de números negativos. Entonces, si queremos evaluar algo como # log_2 10 #, podemos simplemente conectar algunos valores:

# log_2 (-10) = (ln10 + ipi) / ln2 #

#approx 3.3219 + 4.5324i #