Por favor explique, esto es una transformación lineal o no?

Responder:

Vea abajo

Explicación:

Una transformacion #T: V a W # se dice que es lineal si tiene las siguientes dos propiedades:

• #T (v_1 + v_2) = T (v_1) + T (v_2) # para cada # v_1, v_2 en V #
• #T (cv) = cT (v) # para cada #v en V # y cada escalar #do#

Tenga en cuenta que la segunda propiedad asume que # V # Está incrustado con dos operaciones de suma y multiplicación escalar. En nuestro caso, la suma es la suma entre polinomios, y la multiplicación es la multiplicación con números reales (supongo).

Cuando se deriva un polinomio se baja su grado por #1#, entonces si tu derivas un polinomio de grado #4# Dos veces, obtendrás un polinomio de grado. #2#. Tenga en cuenta que, cuando hablamos del conjunto de todos los polinomios de cuatro grados, en realidad nos referimos al conjunto de todos los polinomios de grado a lo sumo cuatro De hecho, un polinomio genérico de grado cuatro es

# a_0 + a_1x + a_2x ^ 2 + a_3x ^ 3 + a_4x ^ 4 #

Si quieres el polinomio grado dos # 3 + 6x-5x ^ 2 #, por ejemplo, usted simplemente elige

# a_0 = 3, a_1 = 6, a_2 = -5, a_3 = a_4 = 0 #

Dicho esto, identifiquemos el espacio polinomial de grado. #norte# con # P_n #, y defina nuestro operador #T: P_4 a P_2 # tal que #T (f (x)) = f '' (x) #

Probaremos la primera propiedad: asumamos que tenemos los polinomios

# p_1 = a_0 + a_1x + a_2x ^ 2 + a_3x ^ 3 + a_4x ^ 4 #

y

# p_2 = b_0 + b_1x + b_2x ^ 2 + b_3x ^ 3 + b_4x ^ 4 #

Esto significa que # p_1 + p_2 # es igual a

# (a_0 + b_0) + (a_1 + b_1) x + (a_2 + b_2) x ^ 2 + (a_3 + b_3) x ^ 3 + (a_4 + b_4) x ^ 4 #

#T (p_1 + p_2) # Es la segunda derivada de este polinomio, por lo que es.

# 2 (a_2 + b_2) +6 (a_3 + b_3) x + 12 (a_4 + b_4) x ^ 2 #

(Aplicé el doble de la regla de poder para la derivación: la segunda derivada de # x ^ n # es #n (n-1) x ^ {n-2} #)

Ahora vamos a calcular #T (p_1) #, es decir, la segunda derivada de # p_1 #:

# 2a_2 + 6a_3x + 12a_4x ^ 2 #

Similar, #T (p_2) #, es decir, la segunda derivada de # p_2 #, es

# 2b_2 + 6b_3x + 12b_4x ^ 2 #

Si sumas estas expresiones, puedes ver que tenemos

#T (p_1 + p_2) = T (p_1) + T (p_2) #

La segunda propiedad se muestra de manera similar: dado un polinomio

#p = a_0 + a_1x + a_2x ^ 2 + a_3x ^ 3 + a_4x ^ 4 #

tenemos, para cualquier numero real #do#,

#cp = ca_0 + ca_1x + ca_2x ^ 2 + ca_3x ^ 3 + ca_4x ^ 4 #

Su segunda derivada es así.

# 2ca_2 + 6ca_3x + 12ca_4x ^ 2 #

que de nuevo es lo mismo que computar #T (p) #, y luego multiplicar todo por #do#, es decir #T (cp) = cT (p) #