Usa el primer principio para diferenciar? y = sqrt (sinx)

Responder:

El primer paso es reescribir la función como un exponente racional. #f (x) = sin (x) ^ {1/2} #

Explicación:

Después de que tenga su expresión en esa forma, puede diferenciarla usando la Regla de la cadena:

En tu caso: # u ^ {1/2} -> 1 / 2Sin (x) ^ {- 1/2} * d / dxSin (x) #

Entonces, # 1 / 2Sin (x) ^ {- 1/2} * Cos (x) # cual es tu respuesta

Responder:

# d / dx sqrt (sinx) = cosx / (2sqrt (sinx)) #

Explicación:

Usando la definición de límite del derivado tenemos:

# f '(x) = lim_ (h rarr 0) (f (x + h) -f (x)) / (h) #

Así que para la función dada, donde #f (x) = sqrt (sinx) #, tenemos:

# f '(x) = lim_ (h rarr 0) (sqrt (sin (x + h)) - sqrt (sinx)) / (h) #

# = lim_ (h rarr 0) (sqrt (sin (x + h)) - sqrt (sinx)) / (h) * (sqrt (sin (x + h)) + sqrt (sinx)) / (sqrt (sin (x + h)) + sqrt (sinx)) #

# = lim_ (h rarr 0) (sin (x + h) -sinx) / (h (sqrt (sin (x + h)) + sqrt (sinx))) #

Entonces podemos usar la identidad trigonométrica:

# sin (A + B) - = sinAcosB + cosAsinB #

Dándonos:

# f '(x) = lim_ (h rarr 0) (sinxcos h + cosxsin h-sinx) / (h (sqrt (sin (x + h)) + sqrt (sinx))) #

# = lim_ (h rarr 0) (sinx (cos h-1) + cosxsin h) / (h (sqrt (sin (x + h)) + sqrt (sinx))) #

# = lim_ (h rarr 0) (sinx (cos h-1)) / (h (sqrt (sin (x + h)) + sqrt (sinx))) + + (cosxsin h) / (h (sqrt (sin (x + h)) + sqrt (sinx))) #

# = lim_ (h rarr 0) (cos h-1) / h (sinx) / (sqrt (sin (x + h)) + sqrt (sinx)) + (sin h) / h (cosx) / (sqrt (sin (x + h)) + sqrt (sinx)) #

Luego usamos dos límites de cálculo muy estándar:

# lim_ (theta -> 0) sintheta / theta = 1 #y #lim_ (theta -> 0) (costheta-1) / theta = 0 #y #

Y ahora podemos evaluar los límites:

# f '(x) = 0 xx (sinx) / (sqrt (sin (x)) + sqrt (sinx)) + 1 xx (cosx) / (sqrt (sin (x)) + sqrt (sinx)) #

# = (cosx) / (2sqrt (sin (x)) #