Diferenciar del primer principio x ^ 2sin (x)?

Responder:

# (df) / dx = 2xsin (x) + x ^ 2cos (x) # A partir de la definición de la derivada y tomando algunos límites.

Explicación:

Dejar #f (x) = x ^ 2 sen (x) #. Entonces

# (df) / dx = lim_ {h a 0} (f (x + h) - f (x)) / h #

# = lim_ {h a 0} ((x + h) ^ 2sin (x + h) - x ^ 2sin (x)) / h #

# = lim_ {h a 0} ((x ^ 2 + 2hx + h ^ 2) (sin (x) cos (h) + sin (h) cos (x)) - x ^ 2sin (x)) / h #

#=#

# lim_ {h a 0} (x ^ 2sin (x) cos (h) - x ^ 2sin (x)) / h + #

# lim_ {h a 0} (x ^ 2sin (h) cos (x)) / h + #

# lim_ {h a 0} (2hx (sin (x) cos (h) + sin (h) cos (x))) / h + #

# lim_ {h a 0} (h ^ 2 (sin (x) cos (h) + sin (h) cos (x))) / h #

Por una identidad trigonométrica y algunas simplificaciones. En estas cuatro últimas líneas tenemos cuatro términos.

El primer término es igual a 0, ya que

#lim_ {h to 0} (x ^ 2sin (x) cos (h) - x ^ 2sin (x)) / h #

# = x ^ 2sin (x) (lim_ {h a 0} (cos (h) - 1) / h) #

#= 0#, que se puede ver por ejemplo A partir de la expansión de taylor o de la regla del hospital.

los Cuarto término también desaparece porque

#lim_ {h to 0} (h ^ 2 (sin (x) cos (h) + sin (h) cos (x))) / h #

# = lim_ {h a 0} h (sin (x) cos (h) + sin (h) cos (x)) #

#= 0#.

Ahora el segundo período simplifica a

# lim_ {h a 0} (x ^ 2sin (h) cos (x)) / h #

# = x ^ 2cos (x) (lim_ {h a 0} (sin (h)) / h) #

# = x ^ 2cos (x) #, ya que

#lim_ {h to 0} (sin (h)) / h = 1 #, como se muestra aquí, o por ejemplo. Regla de l'Hospital (ver abajo).

los tercer término simplifica a

# lim_ {h a 0} (2hx (sin (x) cos (h) + sin (h) cos (x))) / h #

# = lim_ {h a 0} 2xsin (x) cos (h) + 2xsin (h) cos (x) #

# = 2xsin (x) #,

que después añadiendo al segundo término da eso

# (df) / dx = 2xsin (x) + x ^ 2cos (x) #.

Nota: Por regla del hospital, desde # lim_ {h to 0} sin (h) = 0 # y # lim_ {h a 0} h = 0 # y ambas funciones son diferenciables en torno a # h = 0 #tenemos eso

# lim_ {h to 0} sin (h) / h = lim_ {h to 0} ((d / (dh)) sin (h)) / (d / (dh) h) = lim_ { h a 0} cos (h) = 1 #.

El límite # lim_ {h a 0} (cos (h) - 1) / h = 0 # se puede mostrar de manera similar.