¿Hay una manera sistemática de determinar el número de números entre 10 y, digamos, 50, divisibles por sus dígitos de unidades?

Responder:

El número de números entre #10# y # 10k # divisibles por sus unidades de dígitos se pueden representar como

#sum_ (n = 1) ^ 9 fl ((k * gcd (n, 10)) / n) #

dónde #fl (x) # representa la función de piso, mapeo #X# al mayor entero menor o igual que #X#.

Explicación:

Esto es equivalente a preguntar cuántos enteros #una# y #segundo# existe donde # 1 <= b <5 # y # 1 <= a <= 9 # y #una# divide # 10b + a #

Tenga en cuenta que #una# divide # 10b + a # si y solo si #una# divide # 10b #. Por lo tanto, basta con encontrar cuántos #segundo#s existen para cada #una#. Además, tenga en cuenta que #una# divide # 10b # Si y solo si cada factor primo de #una# También es un factor primordial de # 10b # Con la multiplicidad adecuada.

Todo lo que queda, entonces, es pasar por cada #una#.

#a = 1 #: Como todos los enteros son divisibles por #1#, los cuatro valores para #segundo# trabajo.

# a = 2 #: Como #10# es divisible por #2#, los cuatro valores para #segundo# trabajo.

# a = 3 #: Como #10# no es divisible por #3#, Debemos tener #segundo# siendo divisible por #3#, es decir, # b = 3 #.

# a = 4 #: Como #10# es divisible por #2#, Debemos tener #segundo# como divisible por #2# Tener la multiplicidad adecuada. Así, # b = 2 # o # b = 4 #.

# a = 5 #: Como #10# es divisible por #5#, los cuatro valores para #segundo# trabajo.

# a = 6 #: Como #10# es divisible por #2#, Debemos tener #segundo# como divisible por #3#, es decir, # b = 3 #.

# a = 7 #: Como #10# no es divisible por #7#, Debemos tener #segundo# como divisible por #7#. Pero #b <5 #, y entonces no hay valor para #segundo# trabajos.

# a = 8 #: Como #10# es divisible por #2#, Debemos tener #segundo# como divisible por #4#, es decir, # b = 4 #

# a = 9: # Como #10# no es divisible por #3#, Debemos tener #segundo# como divisible por #3^2#. Pero #b <5 #, y entonces no hay valor para #segundo# trabajos.

Esto concluye cada caso, y así, sumándolos, obtenemos, como se concluye en la pregunta, #17# valores. Sin embargo, este método puede extenderse fácilmente a valores mayores. Por ejemplo, si quisiéramos pasar de #10# a #1000#restringiríamos # 1 <= b <100 #. Entonces, mirando a # a = 6 #, digamos, tendríamos #2# divide #10# y por lo tanto #6# divide # 10b # si y solo si #3# divide #segundo#. Existen #33# múltiplos de #3# en el rango para #segundo#, y por lo tanto #33# números que terminan en #6# y son divisibles por #6# Entre #10# y #1000#.

En una notación más corta y fácil de calcular, utilizando las observaciones anteriores, podemos escribir el número de enteros entre #10# y # 10k # como

#sum_ (n = 1) ^ 9 fl (k / (n / gcd (n, 10))) = suma_ (n = 1) ^ 9 fl ((k * gcd (n, 10)) / n) #

dónde #fl (x) # representa la función de piso, mapeo #X# al mayor entero menor o igual que #X#.