Un círculo tiene un centro que cae en la línea y = 7 / 2x +3 y pasa a través de (1, 2) y (8, 1). ¿Cuál es la ecuación del círculo?

Responder:

# 7x ^ 2 - 132x + 7y ^ 2 - 504y + 1105 = 0 #

Explicación:

Punto A #(1,2)# y punto B #(8,1)# debe estar a la misma distancia (un radio) del centro del círculo

Esto se encuentra en la línea de puntos (L) que están a una distancia igual de A y B

la fórmula para calcular la distancia (d) entre dos puntos (desde pythagorus) es # d ^ 2 = (x_2-x_1) ^ 2 + (y_2-y_1) ^ 2 #

Sustituya en lo que conocemos por el punto A y un punto arbitrario en L

# d ^ 2 = (x-1) ^ 2 + (y-2) ^ 2 #

Sustituya en lo que conocemos por el punto B y un punto arbitrario en L

# d ^ 2 = (x-8) ^ 2 + (y-1) ^ 2 #

Por lo tanto

# (x-1) ^ 2 + (y-2) ^ 2 = (x-8) ^ 2 + (y-1) ^ 2 #

Ampliar los soportes

# x ^ 2-2x + 1 + y ^ 2-4y + 4 = x ^ 2 -16x + 64 + y ^ 2 -2y + 1 #

Simplificar

# 2x + 4y = 16x + 2y - 60 #

# 2y = 14x - 60 #

#y = 7x -30 #

el punto central está en la línea #y = 7x - 30 # (el conjunto de puntos equi-distantes de A y B)

y en la linea #y = 7x / 2 + 3 # (dado)

Resuelve dónde se cruzan estas dos líneas para encontrar el centro del círculo.

# 7x - 30 = 7x / 2 + 3 #

# 14x -60 = 7x + 6 #

# 7x = 66 #

#x = 66/7 #

sustituir en #y = 7x / 2 + 3 #

#y = 7 * 66 / (7 * 2) + 3 = 36 #

El centro del círculo está en #(66/7, 36)#

El radio cuadrado del círculo ahora se puede calcular como

# r ^ 2 = (66/7 - 1) ^ 2 + (36-2) ^ 2 #

# r ^ 2 = (59/7) ^ 2 + 34 ^ 2 #

La fórmula general para un círculo o radio. # r # es

# (x - h) ^ 2 + (y - k) ^ 2 = r ^ 2 # con el centro en h, k

Ahora sabemos # h #, # k # y # r ^ 2 # y puede sustituirlos en la ecuación general del círculo.

# (x - 66/7) ^ 2 + (y - 36) ^ 2 = (59/7) ^ 2 + 1156 #

ampliar los soportes

# x ^ 2 - 132x / 7 + 4356/49 + y ^ 2 -72y + 1296 = 3481/49 + 1156 #

y simplificar

# 7x ^ 2-132x + 7y ^ 2-504y = 3481/7 -7 * 1296 -4356 / 7 + 7 * 1156 #

# 7x ^ 2 - 132x + 7y ^ 2 - 504y + 1105 = 0 #