¿Cuál es el ortocentro de un triángulo con vértices en O (0,0), P (a, b) y Q (c, d) #?

Responder:

# (x, y) = {ac + bd} / {ad - bc} (d-b, a-c) #

Explicación:

He generalizado esta vieja pregunta en lugar de hacer una nueva. Hice esto antes para una pregunta de circuncentro y no sucedió nada malo, así que continúo la serie.

Como antes, coloco un vértice en el origen para tratar de mantener el álgebra manejable. Un triángulo arbitrario se traduce fácilmente y el resultado se traduce fácilmente.

El ortocentro es la intersección de las altitudes de un triángulo. Su existencia se basa en el teorema de que las altitudes de un triángulo se intersecan en un punto. Decimos que las tres altitudes son. concurrente.

Probemos que las altitudes del triángulo OPQ son concurrentes.

El vector de dirección del lado OP es # P-O = P = (a, b), # que es sólo una forma elegante de decir que la pendiente es #licenciado en Letras# (pero el vector de dirección también funciona cuando # a = 0 #). Obtenemos el vector de dirección de la perpendicular intercambiando las coordenadas y negando una, aquí #(licenciado en Letras).# Perpendicularmente es confirmado por el producto de punto cero:

# (a, b) cdot (b, -a) = ab-ba = 0 quad sqrt #

La ecuación paramétrica de la altitud de OP a Q es así:

# (x, y) = Q + t (b, -a) = (c, d) + t (b, -a) quad # de verdad # t #

La altitud de OQ a P es similar

# (x, y) = (a, b) + u (d, -c) quad # de verdad # u #

El vector de dirección de PQ es # Q-P = (c-a, d-b) #. La perpendicular a través del origen, es decir, la altitud desde PQ, es así

# (x, y) = v (d-b, a-c) quad # de verdad # v #

Veamos el encuentro de las altitudes de OP y PQ:

# (c, d) + t (b, -a) = v (d-b, a-c) #

Son dos ecuaciones en dos incógnitas, # t # y # v #.

# c + bt = v (d-b) #

# d-at = v (a-c) #

Multiplicaremos la primera por #una# y el segundo por #segundo#.

# ac + abt = av (d-b) #

# bd-abt = bv (a-c) #

Añadiendo, #ac + bd = v (a (d-b) + b (a-c)) = v (ad - ab + ab -bc) #

#v = {ac + bd} / {ad - bc} #

Manera fresca con el producto de puntos en el numerador y producto cruzado en el denominador.

El encuentro es el presunto ortocentro. # (x, y) #:

# (x, y) = v (d-b, a-c) = {ac + bd} / {ad - bc} (d-b, a-c) #

Vamos a encontrar el encuentro de las altitudes de OQ y PQ a continuación. Por simetría solo podemos intercambiar #una# con #do# y #segundo# con #re#. Llamaremos al resultado. # (x ', y'). #

# (x ', y') = {ca + db} / {cb - da} (b-d, c-a) = {ac + bd} / {ad - bc} (d-b, a-c) #

Tenemos estas dos intersecciones son las mismas, # (x ', y') = (x, y), # Así que hemos comprobado que las altitudes son concurrentes. #quad sqrt #

Hemos justificado el nombramiento de la intersección común del ortocentro, y hemos encontrado sus coordenadas.

# (x, y) = {ac + bd} / {ad - bc} (d-b, a-c) #