¿Cuál es la diferencia entre el teorema del valor intermedio y el teorema del valor extremo?

Responder:

El teorema del valor intermedio (TIV) dice que las funciones son continuas en un intervalo # a, b # asumir todos los valores (intermedios) entre sus extremos. El teorema del valor extremo (EVT) dice funciones que son continuas en # a, b # Alcanzar sus valores extremos (altos y bajos).

Explicación:

Aquí hay una declaración de la EVT: Vamos #F# ser continuo en # a, b #. Entonces existen numeros # c, d en a, b # tal que #f (c) leq f (x) leq f (d) # para todos #x en a, b #. Dicho de otra manera, el "supremo" #METRO# y "infimum" #metro# de la gama # {f (x): x en a, b } # existen (son finitos) y existen números # c, d en a, b # tal que #f (c) = m # y #f (d) = M #.

Tenga en cuenta que la función #F# debe ser continuo en # a, b # para la conclusión a sostener. Por ejemplo, si #F# es una función tal que #f (0) = 0.5 #, #f (x) = x # para #0<>y #f (1) = 0.5 #, entonces #F# no alcanza ningún valor máximo o mínimo en #0,1#. (El supremo y el mínimo del rango existen (son 1 y 0, respectivamente), pero la función nunca alcanza (nunca es igual a) estos valores.)

Tenga en cuenta también que el intervalo debe ser cerrado. La función #f (x) = x # no alcanza ningún valor máximo o mínimo en el intervalo abierto #(0,1)#. (Una vez más, el supremo y el mínimo del rango existen (son 1 y 0, respectivamente), pero la función nunca alcanza (nunca es igual a) estos valores.)

La función #f (x) = 1 / x # Además, no alcanza un valor máximo o mínimo en el intervalo abierto #(0,1)#. Además, el supremo del rango ni siquiera existe como un número finito (es "infinito").

Aquí hay una declaración de la IVT: Vamos #F# ser continuo en # a, b # y supongamos #f (a)! = f (b) #. Si # v # es cualquier numero entre #fa)# y #pensión completa)#, entonces existe un número #c en (a, b) # tal que #f (c) = v #. Por otra parte, si # v # Es un número entre el supremo y el mínimo del rango. # {f (x): x en a, b} #, entonces existe un número #c en a, b # tal que #f (c) = v #.

Si dibujas imágenes de varias funciones discontinuas, está bastante claro por qué #F# Necesita ser continuo para que la IVT sea verdadera.