Un segmento de línea se divide en dos por una línea con la ecuación 3 y - 7 x = 2. Si un extremo del segmento de línea está en (7, 3), ¿dónde está el otro extremo?

Responder:

#(-91/29, 213/29)#

Explicación:

Hagamos una solución paramétrica, que creo que es un poco menos de trabajo.

Vamos a escribir la línea dada.

# -7x + 3y = 2 quad quad quad quad quad quad quad y = 7/3 x + 2/3 #

Lo escribo de esta manera con #X# primero, así que no sustituyo accidentalmente en una # y # valor para un #X# valor. La recta tiene una pendiente de #7/3# por lo que un vector de dirección de #(3,7)# (por cada incremento en #X# por #3# vemos # y # aumentado por #7#). Esto significa que el vector de dirección de la perpendicular es #(7,-3).#

El perpendicular a través #(7,3)# es así

# (x, y) = (7,3) + t (7, -3) = (7 + 7t, 3-3t) #.

Esto cumple con la línea original cuando

# -7 (7 + 7t) + 3 (3-3t) = 2 #

# -58t = 42 #

# t = -42 / 58 = -21 / 29 #

Cuando # t = 0 # estaban en #(7,3),# un extremo del segmento, y cuando # t = -21 / 29 # estamos en el punto de biseccion Así que doblamos y obtenemos # t = -42 / 29 # Da el otro extremo del segmento:

# (x, y) = (7,3) + (-42/29) (7, -3) = (-91/29, 213/29) #

Esa es nuestra respuesta.

Comprobar:

Verificamos la bisectriz y luego verificamos perpendicularmente.

El punto medio del segmento es

# ((7 + -91/29)/2, (3+ 213/29)/2) = (56/29, 150/29)#

Comprobamos que está en # -7x + 3y = 2 #

# - 7 (56/29) + 3 (150/29) = 2 quad sqrt #

Comprobemos que es un producto de punto cero de la diferencia de los puntos finales del segmento con el vector de dirección #(3,7)#:

# 3 (-91/29 - 7) + 7 (213/29 - 3) = 0 quad sqrt #