Responder:
# sin ^ 2theta-csc ^ 2theta = -8sqrt3 #
Explicación:
Aquí, Si # sinθ + cosecθ = 4 #, entonces # sin ^ 2θ-cosec ^ 2θ =? #
Dejar
#color (azul) (sintheta + csctheta = 4 … a (1) #
Cuadrado de ambos lados
# (sintheta + csctheta) ^ 2 = 4 ^ 2 #
# => sin ^ 2theta + 2sinthetacsctheta + csc ^ 2theta = 16 #
# => sin ^ 2theta + csc ^ 2theta = 16-2sinthetacsctheta #
Añadiendo,#color (verde) (- 2sinthetacsctheta # ambos lados
# sin ^ 2theta-2sinthetacsctheta + csc ^ 2theta = 16- 4sinthetacsctheta #
# (sintheta-csctheta) ^ 2 = 16-4, donde, color (verde) (sinthetacsctheta = 1 #
# (sintheta-csctheta) ^ 2 = 12 = (4xx3) = (2sqrt3) ^ 2 #
# sintheta-csctheta = + - 2sqrt3 #
Pero, #color (rojo) (- 1 <= sintheta <= 1 y sintheta + csctheta = 4 #
#:. color (rojo) (1 <= csctheta <= 4 => sintheta <csctheta => sintheta-csctheta <0 #
Asi que, #color (azul) (sintheta-csctheta = -2sqrt3 … a (2) #
Desde #color (azul) ((1) y (2) #,obtenemos
# sin ^ 2theta-csc ^ 2theta = (sintheta + csctheta) (sintheta-csctheta) #
# sin ^ 2theta-csc ^ 2theta = (4) (- 2sqrt3) #
# sin ^ 2theta-csc ^ 2theta = -8sqrt3 #
