Sin graficar, ¿cómo decide si el siguiente sistema de ecuaciones lineales tiene una solución, infinitas soluciones o ninguna solución?

Responder:

Un sistema de #NORTE# ecuaciones lineales con #NORTE# variables desconocidas que no contienen una dependencia lineal entre ecuaciones (en otras palabras, su determinante es distinto de cero) tendrá una y solo una solución.

Explicación:

Consideremos un sistema de dos ecuaciones lineales con dos variables desconocidas:

# Axe + Por = C #

# Dx + Ey = F #

Si pareja # (A, B) # no es proporcional al par #(DELAWARE)# (Es decir, no hay tal número # k # ese # D = kA # y # E = kB #, que puede comprobarse por condición # A * E-B * D! = 0 #) entonces hay una y solo una solución:

# x = (C * E-B * F) / (A * E-B * D) #, # y = (A * F-C * D) / (A * E-B * D) #

Ejemplo:

# x + y = 3 #

# x-2y = -3 #

Solución:

# x = (3 * (- 2) -1 * (- 3)) / (1 * (- 2) -1 * 1) = 1 #

# y = (1 * (- 3) -3 * 1) / (1 * (- 2) -1 * 1) = 2 #

Si pareja # (A, B) # es proporcional al par #(DELAWARE)# (lo que significa que hay tal número # k # ese # D = kA # y # E = kB #, que puede ser comprobado por una condición # A * E-B * D = 0 #), hay dos casos:

(a) Número infinito de soluciones si #DO# y #F# son proporcionales con el mismo coeficiente que #UNA# y #RE#, es decir # F = kC #, dónde # k # Es el mismo coeficiente de proporcionalidad;

Ejemplo:

# x + y = 3 #

# 2x + 2y = 6 #

aquí # k = 2 # para todos los pares: # D = 2A #, # E = 2B #, # F = 2C #.

La segunda ecuación es una consecuencia trivial de la primera (simplemente multiplique la primera ecuación por #2#) y, por lo tanto, no proporciona información adicional sobre lo desconocido, reduciendo el número de ecuaciones, efectivamente, a 1.

(b) ninguna solución, si #F! = KC #

Ejemplo:

# x + 4y = 3 #

# 2x + 8y = 5 #

En este caso, las ecuaciones se contradicen entre sí, ya que, al multiplicar la primera por 2, derivamos a la ecuación # 2x + 8y = 6 #, que no puede tener solución común con # 2x + 8y = 5 # ya que las partes izquierdas de estas dos ecuaciones son iguales, pero las partes derechas no lo son.