¿Cuál de las siguientes afirmaciones es verdadera / falsa? Justifique su respuesta. (i) R² tiene infinitos subespacios de vectores propios, distintos de cero. (ii) Todo sistema de ecuaciones lineales homogéneas tiene una solución distinta de cero.

Responder:

# #

# "(i) Verdadero." #

# "(ii) Falso." #

Explicación:

# #

# "Pruebas". #

# "(i) Podemos construir un conjunto de subespacios de este tipo:" #

# "1)" forall r in RR, "let:" qquad quad V_r = (x, r x) in RR ^ 2. #

# "Geométricamente," V_r "es la línea a través del origen de" RR ^ 2, "de pendiente" r. #

# "2) Comprobaremos que estos subespacios justifiquen la aserción (i)". #

# "3) Claramente:" qquad qquad qquad qquad qquad qquad qquad V_r sube RR ^ 2. #

# "4) Compruebe que:" qquad qquad V_r "es un subespacio adecuado de" RR ^ 2. #

# "Let:" qquad u, v en V_r, alpha, beta en RR. qquad qquad qquad quad "Verifique que:" quad alpha u + beta v en V_r. #

# u, v in V_r rArr u = (x_1, r x_1), v = (x_2, r x_2); "para algunos" x_1, x_2 en RR #

# qquad qquad qquad:. qquad quad alpha u + beta v = alpha (x_1, r x_1) + beta (x_2, r x_2) #

# qquad qquad qquad qquad qquad qquad qquad qquad qquad quad = alpha (x_1, r x_1) + beta (x_2, r x_2) #

# qquad qquad qquad qquad qquad qquad qquad qquad qquad quad = (alpha x_1, alpha r x_1) + (beta x_2, beta r x_2) #

# qquad qquad qquad qquad qquad qquad qquad qquad qquad quad = (alpha x_1 + beta x_2, alpha r x_1 + beta r x_2) #

# qquad qquad qquad qquad qquad qquad qquad qquad qquad quad = (alpha x_1 + beta x_2, r (alpha x_1 + beta x_2)) #

# qquad qquad qquad qquad qquad quad quad = (x_3, r x_3) en V_r; qquad "con" x_3 = alpha x_1 + beta x_2. #

# "Entonces:" qquad qquad qquadu, v en V_r, alpha, beta en RR quad rArr quad alpha u + beta v en V_r. #

# "Así:" qquad qquad qquad qquad qquad qquad quad V_r "es un subespacio de" RR ^ 2. #

# "Para ver que" V_r "no es cero, tenga en cuenta que:" #

# qquad qquad qquad qquad qquad qquad (1, r) en V_r, "y" (1, r) ne (0, 0). #

# "Para ver que" V_r "es correcto," "tenga en cuenta que" (1, r + 1)! En V_r: #

# (1, r + 1) en V_r rArr "(por construcción de" V_r ")" quad r cdot 1 = r + 1 #

# qquad qquad qquad qquad qquad qquad rArr r = r + 1, "claramente imposible". #

# "Así:" qquad qquad qquad V_r "no es un subespacio adecuado de" RR ^ 2 ". qquad qquad qquad (1) #

# "5) Ahora muestre que hay infinitos muchos de estos subespacios" V_r. #

# "Let:" qquad qquad r, s en RR. qquad qquad qquad quad "Mostraremos:" qquad r ne s rArr V_r ne V_s. #

# "Por definición:" quad (1, r) = (1, r cdot 1) en V_r; (1, s) = (1, s cdot 1) en V_s. #

# "Claramente:" qquad qquad qquad qquad qquad r ne s rArr (1, r) ne (1, s). #

# "Así:" qquad qquad qquad qquad qquad qquad r ne s rArr V_r ne V_s. #

# "Entonces, cada" r en RR "produce un subespacio distinto" V_r. #

# "Esto, junto con (1), da:" #

# "La familia de subespacios:" r en RR, "es una familia infinita" #

# "de subespacios apropiados, que no sean cero, de" RR ^ 2. qquad qquad qquad qquad qquad qquad qquad qquad qquad qquad square #

# "(ii) Esto es realmente fácil. Si el sistema es cuadrado, y el" #

# "matriz de coeficientes del sistema en invertible, solo habrá" #

# "la solución cero". #

# "Supongamos:" qquad qquad quad A "es una matriz cuadrada invertible." #

# "Considere el sistema homogéneo:" #

# qquad qquad qquad qquad qquad qquad qquad qquad qquad qquad A x = 0. #

# "Por lo tanto, como" A "es invertible:" #

# qquad qquad qquad qquad qquad qquad qquad A ^ {- 1} cdot A x = A ^ {- 1} cdot 0. #

# qquad qquad qquad qquad:. qquad qquad qquad qquad I x = 0. #

# qquad qquad qquad qquad:. qquad qquad qquad qquad x = 0. #

# "Por lo tanto, el sistema homogéneo" A x = 0, "no tiene un" #

# "solución no cero". qquad qquad qquad qquad qquad qquad qquad qquad qquad qquad qquad qquad qquad qquad qquad qquad qquad qquad cuadrado #