¿Cuál es el ortocentro de un triángulo con esquinas en (4, 7), (8, 2) y (5, 6) #?

Responder:

Coordenadas del ortocentro #color (rojo) (O (40, 34) #

Explicación:

Pendiente del segmento de línea aC # = m_ (BC) = (6-2) / (5-8) = -4 / 3 #

Pendiente de #m_ (AD) = - (1 / m_ (BC)) = (3/4) #

Ecuación de altitud que pasa por A y perpendicular a BC

#y - 7 = (3/4) (x - 4) #

# 4y - 3x = 16 # Eqn (1)

Pendiente del segmento de línea AC #m_ (AC) = (7-6) / (4-5) = -1 #

Pendiente de altitud BE perpendicular a BC #m_ (BE) = - (1 / m_ (AC)) = - (1 / -1) = 1 #

Ecuación de altitud que pasa por B y perpendicular a AC

#y - 2 = 1 * (x - 8) #

#y - x = -6 # Eqn (2)

Resolviendo ecuaciones (1), (2) llegamos a las coordenadas del ortocentro O

#x = 40, y = 34 #

Coordenadas de ortocentro #O (40, 34) #

Verificación:

Pendiente de #CF = - (4-8) / (7-2) = (4/5) #

Ecuación de Altitud CF

#y - 6 = (4/5) (x - 5) #

# 5y - 4x = 10 # Ecuación (3)

Coordenadas del ortocentro #O (40, 34) #

Responder:

Ortocentro #(40,34)#

Explicación:

Resolví el caso semi-general aquí. (Http://socratic.org/questions/what-is-the-orthocenter-of-a-triangle-with-corners-at-7-3-4-4 -y-2-8)

La conclusión es el ortocentro del triángulo con vértices. # (a, b), # #(discos compactos)# y #(0,0)# es

# (x, y) = {ac + bd} / {ad - bc} (d-b, a-c) #

Probémoslo aplicándolo a este triángulo y comparando el resultado con la otra respuesta.

Primero traducimos (5, 6) al origen, dando los otros dos vértices traducidos:

# (a, b) = (4,7) - (5,6) = (- 1,1) #

# (c, d) = (8,2) - (5,6) = (3, -4) #

Aplicamos la fórmula en el espacio traducido:

# (x, y) = {-1 (3) + 1 (-4)} / {- 1 (-4) - 1 (3)} (-5, -4) = -7 (-5, -4) = (35,28) #

Ahora volvemos a traducir para nuestro resultado:

Ortocentro #(35,28) + (5,6) = (40,34)#

Eso coincide con la otra respuesta!