¿Cómo encontrar una función cuadrática f (x) = ax² + bx + c dado un valor mínimo -4 cuando x = 3; un cero es 6?

Responder:

#f (x) = 4 / 9x ^ 2 - 8 / 3x #

Explicación:

Las funciones cuadráticas son simétricas con respecto a su línea de vértice, es decir, en x = 3, por lo que esto implica que el otro cero estará en x = 0.

Sabemos que el vértice se produce en x = 3, por lo que la primera derivada de la función evaluada en x = 3 será cero.

#f '(x) = 2ax + b #

#f '(3) = 6a + b = 0 #

También sabemos el valor de la función en sí en x = 3, #f (3) = 9a + 3b + c = -4 #

Tenemos dos ecuaciones pero tres incógnitas, así que necesitaremos otra ecuación. Mira el cero conocido:

#f (6) = 0 = 36a + 6b + c #

Tenemos un sistema de ecuaciones ahora:

# ((6, 1, 0), (9,3,1), (36,6,1)) ((a), (b), (c)) = ((0), (- 4), (0)) #

Para leer las soluciones, queremos reducir nuestra matriz de coeficientes a una forma escalonada reducida utilizando operaciones de fila elementales.

Multiplicar primera fila por #1/6#

#((1, 1/6, 0),(9,3,1),(36,6,1))#

Añadir #-9# veces la primera fila a la segunda fila:

#((1, 1/6, 0),(0,3/2,1),(36,6,1))#

Añadir #-36# veces la primera fila a la tercera:

#((1, 1/6, 0),(0,3/2,1),(0,0,1))#

Multiplicar segunda fila por #2/3#

#((1, 1/6, 0),(0,1,2/3),(0,0,1))#

Añadir #-2/3# veces la tercera fila a la segunda fila:

#((1, 1/6, 0),(0,1,0),(0,0,1))#

Añadir #-1/6# veces el segundo al primero

#((1, 0, 0),(0,1,0),(0,0,1))#

Hacer esta serie de operaciones al vector de solución da:

#((4/9),(-8/3),(0))#

Así que leyendo las soluciones que tenemos # a = 4/9 y b = -8 / 3 #

#f (x) = 4 / 9x ^ 2 - 8 / 3x #

gráfica {4/9 x ^ 2 - 8/3 x -7.205, 12.795, -5.2, 4.8}