¿Cuál es el ortocentro de un triángulo con esquinas en (9, 7), (4, 4) y (8, 6) #?

Responder:

Vea abajo.

Explicación:

Llamaremos a los vértices. # A = (4,4) #, # B = (9,7) # y # C = (8,6) #.

Necesitamos encontrar dos ecuaciones que sean perpendiculares a dos lados y pasar a través de dos de los vértices. Podemos encontrar la pendiente de dos de los lados y, en consecuencia, la pendiente de los dos de las líneas perpendiculares.

Pendiente de AB:

#(7-4)/(9-4)=3/5#

Pendiente perpendicular a esta:

#-5/3#

Esto tiene que pasar a través del vértice C, por lo que la ecuación de la línea es:

# y-6 = -5 / 3 (x-8) #, # 3y = -5x + 58 # 1

Pendiente de BC:

#(6-7)/(8-9)=1#

Pendiente perpendicular a esta:

#-1#

Esto tiene que pasar a través del vértice A, entonces la ecuación de línea es

# y-4 = - (x-4) #, # y = -x + 8 # 2

Donde 1 y 2 se intersecan es el ortocentro.

Resolviendo 1 y 2 simultáneamente:

# 3 (-x + 8) = - 5x + 58 #

# -3x + 24 = -5x + 58 #

# -3x + 24 = 5x + 58 => x = 34/2 = 17 #

Utilizando 2:

# y = -17 + 8 = -9 #

Ortocentro

#(17, -9)#

Debido a que el triángulo es obtuso, el ortocentro está fuera del triángulo. Esto se puede ver si extiendes las líneas de altitud hasta que se crucen.

Responder:

Ortocentro

# x_0 = 17, y_0 = -9 #

Circuncentro

# x_0 = 2, y_0 = 13 #

Explicación:

Ortocentro

Dado # p_1, p_2, p_3 # y

#vec v_ (12), vec v_ (13), vec v_ (23) # tal que

# << vec v_ (12), p_2-p_1 >> = << vec v_ (13), p_3-p_1 >> = << vec v_ (23), p_3-p_2 >> = 0 #

Esos vectores se obtienen fácilmente, por ejemplo

# p_1 = (x_1, y_1) # y # p_2 = (x_2, y_2) # y entonces

#vec v_ (12) = (y_1-y_2, - (x_1-x_2)) #

Ahora tenemos

# L_1 -> p_1 + lambda_1 vec v_ (23) #

# L_2-> p_2 + lambda_2 vec v_ (13) #

# L_3-> p_3 + lambda_3 vec v_ (12) #

Esas tres líneas se intersecan en el ortocentro del triángulo

Eligiendo # L_1, L_2 # tenemos

# (x_0, y_0) = "arg" (L_1 nn L_2) # o

# p_1 + lambda_1 vec v_ (23) = p_2 + lambda_2 vec v_ (13) #

dando las ecuaciones

# {(<< vec v_ (13), vec v_ (23) >> lambda_1- << vec v_ (13), vec v_ (13) >> lambda_2 = << p_2-p_1, vec v_ (13) >>), (<< vec v_ (23), vec v_ (23) >> lambda_1- << vec v_ (23), vec v_ (13) >> lambda_2 = << p_2-p_1, vec v_ (23) >>):} #

Ahora resolviendo para # lambda_1, lambda_2 # tenemos

# lambda_1 = -4, lambda_2 = -13 #

y entonces

# p_0 = p_1 + lambda_1 vec v_ (23) = p_2 + lambda_2 vec v_ (13) = (17, -9) #

Circuncentro

La ecuación de circunferencia está dada por

# C-> x ^ 2 + y ^ 2-2x x_0-2y y_0 + x_0 ^ 2 + y_0 ^ 2-r ^ 2 = 0 #

ahora si # {p_1, p_2, p_3} en C # tenemos

# {(x_1 ^ 2 + y_1 ^ 2-2x_1 x_0-2y_1 y_0 + x_0 ^ 2 + y_0 ^ 2-r ^ 2 = 0), (x_2 ^ 2 + y_2 ^ 2-2x_2 x_0-2y_2 y_0 + x_0 ^ 2 + y_0 ^ 2-r ^ 2 = 0), (x_3 ^ 2 + y_3 ^ 2-2x_3 x_0-2y_3 y_0 + x_0 ^ 2 + y_0 ^ 2-r ^ 2 = 0):} #

restando el primero del segundo

# x_2 ^ 2 + y_2 ^ 2- (x_1 ^ 2 + y_1 ^ 2) -2x_0 (x_2-x_1) -2y_0 (y_2-y_1) = 0 #

restando el primero del tercero

# x_3 ^ 2 + y_3 ^ 2- (x_1 ^ 2 + y_1 ^ 2) -2x_0 (x_3-x_1) -2y_0 (y_3-y_1) = 0 #

dando el sistema de ecuaciones

# ((x_2-x_1, y_2-y_1), (x_3-x_1, y_3-y_1)) ((x_0), (y_0)) = 1/2 ((x_2 ^ 2 + y_2 ^ 2- (x_1 ^ 2 + y_1 ^ 2)), (x_3 ^ 2 + y_3 ^ 2- (x_1 ^ 2 + y_1 ^ 2))) #

Ahora sustituyendo los valores dados que obtenemos en

# x_0 = 2, y_0 = 13 #

Adjuntamos un gráfico que muestra el ortocentro (rojo) y el circuncentro (azul).