Considere 3 círculos iguales de radio r dentro de un círculo dado de radio R cada uno para tocar los otros dos y el círculo dado como se muestra en la figura, entonces el área de la región sombreada es igual a?

Podemos formar una expresión para el área de la región sombreada así:

#A_ "sombreado" = piR ^ 2 - 3 (pir ^ 2) -A_ "centro" #

dónde #A_ "centro" # es el área de la sección pequeña entre los tres círculos más pequeños.

Para encontrar el área de esto, podemos dibujar un triángulo conectando los centros de los tres círculos blancos más pequeños. Como cada círculo tiene un radio de # r #, la longitud de cada lado del triángulo es # 2r # y el triángulo es equilátero por lo que tienen ángulos de # 60 ^ o # cada.

Por lo tanto, podemos decir que el ángulo de la región central es el área de este triángulo menos los tres sectores del círculo. La altura del triángulo es simplemente #sqrt ((2r) ^ 2-r ^ 2) = sqrt (3) r ^ #, entonces el área del triángulo es # 1/2 * base * altura = 1/2 * 2r * sqrt (3) r = sqrt (3) r ^ 2 #.

El área de los tres segmentos de círculo dentro de este triángulo es esencialmente la misma área que la mitad de uno de los círculos (debido a que tiene ángulos de # 60 ^ o # cada uno, o #1/6# un círculo, por lo que podemos deducir el área total de estos sectores a ser # 1/2 pir ^ 2 #.

Finalmente, podemos trabajar el área de la región centro para ser #sqrt (3) r ^ 2-1 / 2pir ^ 2 = r ^ 2 (sqrt (3) -pi / 2) #

Así, volviendo a nuestra expresión original, el área de la región sombreada es

# piR ^ 2-3pir ^ 2-r ^ 2 (sqrt (3) -pi / 2) #

Responder:

#A = r ^ 2 (1/6 (8 sqrt (3) - 1) pi - sqrt (3)) #

Explicación:

Vamos a dar a los círculos blancos un radio de # r = 1 #. Los centros forman un triángulo equilátero de lado. #2#. Cada mediana / altitud es #sqrt {3} # por lo que la distancia desde un vértice al centroide es # 2/3 sqrt {3} #.

El centroide es el centro del círculo grande, de modo que esa es la distancia entre el centro del círculo grande y el centro del círculo pequeño. Añadimos un pequeño radio de # r = 1 # Llegar

#R = 1 + 2/3 sqrt {3} #

El área que buscamos es el área del círculo grande menos el triángulo equilátero y el resto #5/6# de cada pequeño círculo.

#A = pi R ^ 2 - 3 (5/6 pi r ^ 2) - sqrt {3} / 4 (2r) ^ 2 #

#A = pi (1 + 2/3 sqrt {3}) ^ 2 - 3 (5/6 pi) - sqrt {3} #

#A = 1/6 (8 sqrt (3) - 1) pi - sqrt (3) #

Escalamos por # r ^ 2 # en general.