¿Cuál es el ortocentro de un triángulo con esquinas en (4, 7), (9, 5) y (5, 6)?

Responder:

#color (azul) ((5/3, -7 / 3) #

Explicación:

El ortocentro es el punto donde se encuentran las altitudes extendidas de un triángulo. Esto estará dentro del triángulo si el triángulo es agudo, fuera del triángulo si el triángulo es obtuso. En el caso del triángulo rectángulo, estará en el vértice del ángulo recto. (Los dos lados son altitudes).

En general, es más fácil hacer un bosquejo aproximado de los puntos para saber dónde se encuentra.

Dejar # A = (4,7), B = (9,5), C = (5,6) #

Como las altitudes pasan a través de un vértice y son perpendiculares al lado opuesto, necesitamos encontrar las ecuaciones de estas líneas. Será obvio a partir de la definición que solo necesitamos encontrar dos de estas líneas. Estos definirán un punto único. No es importante cuáles eliges.

Usaré:

Línea # AB # que pasa a través #DO#

Línea #C.A# que pasa a través #SEGUNDO#

por # AB #

Primero encuentra el gradiente de este segmento de línea:

# m_1 = (6-7) / (5-4) = - 1 #

Una línea perpendicular a esto tendrá un gradiente que es el recíproco negativo de esto:

# m_2 = -1 / m_1 = -1 / (- 1) = 1 #

Esto pasa por #DO#. Usando la forma de pendiente puntual de una línea:

# y-5 = 1 (x-9) #

# y = x-4 1 #

por #C.A#

# m_1 = (5-7) / (9-4) = - 2/5 #

# m_2 = -1 / (- 2/5) = 5/2 #

Que pasa a través #SEGUNDO#

# y-6 = 5/2 (x-5) #

# y = 5 / 2x-13/2 2 #

La interseccion de #1# y #2# será el ortocentro:

Resolviendo simultáneamente:

# 5 / 2x-13/2-x + 4 = 0 => x = 5/3 #

Sustituyendo en #1#:

# y = 5 / 3-4 = -7 / 3 #

Ortocentro

#(5/3,-7/3)#

Note que el ortocentro está fuera del triángulo porque es obtuso. Las líneas de altitud que pasan por #DO# y #UNA# tienen que ser producidos en D y E para permitir esto.