¿Cuál es la raíz cuadrada de 89?

Responder:

La raíz cuadrada de #89# Es un número que al cuadrado da. #89#.

#sqrt (89) ~~ 9.434 #

Explicación:

Ya que #89# es primo, #sqrt (89) # no se puede simplificar

Puedes aproximarlo usando un método de Newton Raphson.

Me gusta reformularlo un poco como sigue:

Dejar #n = 89 # Sé el número del que quieres la raíz cuadrada.

Escoger # p_0 = 19 #, # q_0 = 2 # así que eso # p_0 / q_0 # Es una aproximación racional razonable. Elegí estos valores particulares desde #89# está a medio camino entre #9^2 = 81# y #10^2 = 100#.

Iterar utilizando las fórmulas:

#p_ (i + 1) = p_i ^ 2 + n q_i ^ 2 #

#q_ (i + 1) = 2 p_i q_i #

Esto le dará una mejor aproximación racional.

Asi que:

# p_1 = p_0 ^ 2 + n q_0 ^ 2 = 19 ^ 2 + 89 * 2 ^ 2 = 361 + 356 = 717 #

# q_1 = 2 p_0 q_0 = 2 * 19 * 2 = 76 #

Entonces, si paramos aquí, obtendríamos una aproximación:

#sqrt (89) ~~ 717/76 ~~ 9.434 #

Vayamos un paso más:

# p_2 = p_1 ^ 2 + n q_1 ^ 2 = 717 ^ 2 + 89 * 76 ^ 2 = 514089 + 514064 = 1028153 #

# q_2 = 2 p_1 q_1 = 2 * 717 * 76 = 108984 #

Así obtenemos una aproximación:

#sqrt (89) ~~ 1028153/108984 ~~ 9.43398113 #

Este método de Newton Raphson converge rápido.

#color blanco)()#

En realidad, una aproximación bastante buena para #sqrt (89) # es #500/53#, ya que #500^2 = 250000# y #89 * 53^2 = 250001#

#sqrt (89) ~~ 500/53 ~~ 9.43396 #

Si aplicamos un paso de iteración a esto, obtenemos una mejor aproximación:

#sqrt (89) ~~ 500001/53000 ~~ 9.4339811321 #

#color blanco)()#

Nota

Todas las raíces cuadradas de enteros positivos tienen repeticiones de expansión de fracciones continuas, que también se pueden usar para dar aproximaciones racionales.

Sin embargo, en el caso de #sqrt (89) # la expansión de la fracción continua es un poco desordenada, por lo que no es tan agradable trabajar con:

#sqrt (89) = 9; barra (2, 3, 3, 2, 18) = 9 + 1 / (2 + 1 / (3 + 1 / (3 + 1 / (2 + 1 / (18 + 1 / (2 + 1 / (3 + …))))))) #

La aproximacion #500/53# arriba es #9; 2, 3, 3, 2#