Las dos esquinas de un triángulo isósceles están en (1, 6) y (2, 9). Si el área del triángulo es 36, ¿cuáles son las longitudes de los lados del triángulo?

Las dos esquinas de un triángulo isósceles están en (1, 6) y (2, 9). Si el área del triángulo es 36, ¿cuáles son las longitudes de los lados del triángulo?
Anonim

Responder:

#sqrt (10), sqrt (520.9), sqrt (520.9) ~ = 3.162,22.823,22.823 #

Explicación:

La longitud del lado dado es

# s = sqrt ((2-1) ^ 2 + (9-6) ^ 2) = sqrt (1 + 9) = sqrt (10) ~ = 3.162 #

De la fórmula del área del triángulo:

# S = (b * h) / 2 # => # 36 = (sqrt (10) * h) / 2 # => # h = 72 / sqrt (10) ~ = 22.768 #

Como la figura es un triángulo isósceles podríamos tener Caso 1, donde la base es el lado singular, ilustrada por la Fig. (a) a continuación

O podríamos tener Caso 2, donde la base es uno de los lados iguales, ilustrados por las Figs. (b) y (c) abajo

Para este problema el caso 1 siempre se aplica, porque:

#tan (alpha / 2) = (a / 2) / h # => # h = (1/2) a / tan (alpha / 2) #

Pero hay una condición para que el Caso 2 aplique:

#sin (beta) = h / b # => # h = bsin beta #

O # h = bsin gamma #

Desde el valor más alto de #sin beta # o #sin gamma # es #1#, el valor más alto de # h #, en el caso 2, debe ser #segundo#.

En el presente problema, h es más largo que el lado al que está perpendicular, por lo que para este problema solo se aplica el caso 1.

Solución considerando Caso 1 (Fig. (A))

# b ^ 2 = h ^ 2 + (a / 2) ^ 2 #

# b ^ 2 = (72 / sqrt (10)) ^ 2+ (sqrt (10) / 2) ^ 2 #

# b ^ 2 = 5184/10 + 10/4 = (5184 + 25) / 10 = 5209/10 # => # b = sqrt (520.9) ~ = 22.823 #