¿Qué es una solución a la ecuación diferencial dy / dt = e ^ t (y-1) ^ 2?

Responder:

La Solución General es:

# y = 1-1 / (e ^ t + C) #

Explicación:

Tenemos:

# dy / dt = e ^ t (y-1) ^ 2 #

Podemos recopilar términos para variables similares:

# 1 / (y-1) ^ 2 dy / dt = e ^ t #

Que es una ecuación diferencial no lineal ordinaria separable de primer orden, por lo que podemos "separar las variables" Llegar:

# int 1 / (y-1) ^ 2 dy = int e ^ t dt #

Ambas integrales son las de las funciones estándar, por lo que podemos usar ese conocimiento para integrar directamente:

# -1 / (y-1) = e ^ t + C #

Y podemos reorganizar fácilmente para # y #:

# - (y-1) = 1 / (e ^ t + C) #

#:. 1-y = 1 / (e ^ t + C) #

Conduciendo a la Solución General:

# y = 1-1 / (e ^ t + C) #

Responder:

# y = -1 / (e ^ t + C) + 1 #

Explicación:

Esta es una ecuación diferencial separable, lo que significa que se puede escribir en la forma:

# dy / dx * f (y) = g (x) #

Se puede resolver integrando ambos lados:

#int f (y) dy = int g (x) dx #

En nuestro caso, primero debemos separar la integral en la forma correcta. Podemos hacer esto dividiendo ambos lados por # (y-1) ^ 2 #:

# dy / dt * 1 / (y-1) ^ 2 = e ^ tcancel ((y-1) ^ 2 / (y-1) ^ 2) #

# dy / dt * 1 / (y-1) ^ 2 = e ^ t #

Ahora podemos integrar ambos lados:

#int 1 / (y-1) ^ 2 dy = int e ^ t dt #

#int 1 / (y-1) ^ 2 dy = e ^ t + C_1 #

Podemos resolver la integral de la mano izquierda con una sustitución de # u = y-1 #:

#int 1 / u ^ 2 du = e ^ t + C_1 #

#int u ^ -2 du = e ^ t + C_1 #

# u ^ -1 / (- 1) + C_2 = e ^ t + C_1 #

Sustituir (y combinar constantes) da:

# -1 / (y-1) = e ^ t + C_3 #

Multiplica ambos lados por # y-1 #:

# -1 = (e ^ t + C_3) (y-1) #

Divide ambos lados por # e ^ t + C_3 #:

# -1 / (e ^ t + C_3) = y-1 #

# y = -1 / (e ^ t + C) + 1 #