Resuelve la ecuación diferencial: (d ^ 2y) / (dx ^ 2) 8 (dy) / (dx) = 16y? Discuta qué tipo de ecuación diferencial es esta y cuándo puede surgir.

Responder:

#y = (Ax + B) e ^ (4x) #

Explicación:

# (d ^ 2y) / (dx ^ 2) 8 (dy) / (dx) = 16y #

mejor escrito como

# (d ^ 2y) / (dx ^ 2) 8 (dy) / (dx) + 16y = 0 qquad triangle #

lo que demuestra que se trata de una ecuación diferencial homogénea lineal de segundo orden.

tiene ecuación característica

# r ^ 2 8 r + 16 = 0 #

que se puede resolver de la siguiente manera

# (r-4) ^ 2 = 0, r = 4 #

Esta es una raíz repetida, por lo que la solución general está en forma.

#y = (Ax + B) e ^ (4x) #

esto no es oscilante y modela algún tipo de comportamiento exponencial que realmente depende del valor de A y B. Uno podría adivinar que podría ser un intento de modelar la población o la interacción depredador / presa, pero realmente no puedo decir nada muy específico.

muestra inestabilidad y eso es todo lo que realmente podría decir al respecto

Responder:

# y = (C_1 + C_2x) e ^ {lambda x} #

Explicación:

La ecuacion diferencial

# (d ^ 2y) / (dx ^ 2) -8 (dy) / (dx) + 16y = 0 #

Es una ecuación de coeficiente constante homogénea lineal.

Para esas ecuaciones la solución general tiene la estructura.

#y = e ^ {lambda x} #

Substituyendo tenemos

# e ^ {lambda x} (lambda ^ 2-8lambda + 16) = 0 #

aquí # e ^ {lambda x} ne 0 # entonces las soluciones deben obedecer

# lambda ^ 2-8lambda + 16 = (lambda-4) ^ 2 = 0 #

Resolviendo obtenemos

# lambda_1 = lambda_2 = 4 #

Cuando las raíces se repiten, # d / (d lambda) e ^ {lambda x} # También es solución. En caso de #norte# Raíces repetidas, tendremos como soluciones:

#C_i (d ^ i) / (d lambda ^ i) e ^ {lambda x} # para # i = 1,2, cdots, n #

Entonces, para mantener el número de condiciones iniciales, las incluimos como soluciones independientes.

En este caso tenemos

#y = C_1 e ^ {lambda x} + C_2d / (d lambda) e ^ {lambda x} #

lo que resulta en

# y = (C_1 + C_2x) e ^ {lambda x} #

Esas ecuaciones aparecen al modelar sistemas de parámetros lineales agrupados como los que se encuentran en la teoría de circuitos lineales o en la mecánica lineal. Esas ecuaciones se manejan normalmente usando métodos algebraicos operacionales como los métodos de transformación de Laplace