¿Cuál es el vector unitario que es ortogonal al plano que contiene (- 5 i + 4 j - 5 k) y (4 i + 4 j + 2 k)?

Responder:

Hay dos pasos: (1) encontrar el producto cruzado de los vectores, (2) normalizar el vector resultante. En este caso, la respuesta es:

# ((28) / (46.7) i- (10) / (46.7) j- (36) / (46.7) k) #

Explicación:

El producto cruzado de dos vectores produce un vector que es ortogonal (en ángulo recto) para ambos.

El producto cruzado de dos vectores. #(una#yo# + b #j# + c #k#)# y #(pag#yo# + q #j# + r #k#)# es dado por # (b * r-c * q) i + (c * p-a * r) j + (a * q-b * p) k #

El primer paso es encontrar el producto cruzado:

# (- 5i + 4j 5k) xx (4i + 4j + 2k) = ((4 * 2) - (4 * -5) i + ((-5 * 4) - (- 5 * 2)) j + ((-5 * 4) - (4 * 4)) k = ((8 - (- 20)) i + (- 20 - (- 10) j + ((- 20) -16) k) = (28i-10j) -36k) #

Este vector es ortogonal a los dos vectores originales, pero no es un vector unitario. Para convertirlo en un vector unitario necesitamos normalizarlo: dividir cada uno de sus componentes por la longitud del vector.

# l = sqrt (28 ^ 2 + (- 10) ^ 2 + (- 36) ^ 2) = 46.7 # unidades

El vector unitario ortogonal a los vectores originales es:

# ((28) / (46.7) i- (10) / (46.7) j- (36) / (46.7) k) #

Este es un vector unitario que es ortogonal a los dos vectores originales, pero hay otro: el que está en la dirección opuesta exacta. Simplemente cambiando el signo de cada uno de los componentes se obtiene un segundo vector ortogonal a los vectores originales.

# (- (28) / (46.7) i + (10) / (46.7) j + (36) / (46.7) k) #

(¡Pero es el primer vector que debes ofrecer como respuesta en una prueba o tarea!)