(1 + a + b) ^ 2 = 3 (1 + a ^ 2 + b ^ 2) ¿Vamos a hacerlo?

Responder:

#a = 1, b = 1 #

Explicación:

Resolviendo el camino tradicional.

# (1 + a + b) ^ 2 - 3 (1 + a ^ 2 + b ^ 2) = 0 rArr 1 - a + a ^ 2 - b - a b + b ^ 2 = 0 #

Ahora resolviendo para #una#

#a = 1/2 (1 + b pm sqrt 3 sqrt 2 b - b ^ 2-1) # pero #una# debe ser real por lo que la condición es

# 2 b - b ^ 2-1 ge 0 # o # b ^ 2-2b + 1 le 0 rArr b = 1 #

ahora sustituyendo y resolviendo #una#

# 1 - 2 a + a ^ 2 = 0 rArr a = 1 # y la solución es

#a = 1, b = 1 #

Otra forma de hacer lo mismo.

# (1 + a + b) ^ 2 - 3 (1 + a ^ 2 + b ^ 2) = 0 rArr 1 - a + a ^ 2 - b - a b + b ^ 2 = 0 #

pero

# 1 - a + a ^ 2 - b - a b + b ^ 2 = (a-1) ^ 2 + (b-1) ^ 2- (a-1) (b-1) #

y concluyendo

# (a-1) ^ 2 + (b-1) ^ 2- (a-1) (b-1) = 0 rArr a = 1, b = 1 #

Responder:

RE. Hay exactamente un par de soluciones # (a, b) = (1, 1) #

Explicación:

Dado:

# (1 + a + b) ^ 2 = 3 (1 + a ^ 2 + b ^ 2) #

Tenga en cuenta que podemos convertir esto en un buen problema homogéneo simétrico generalizando a:

# (a + b + c) ^ 2 = 3 (a ^ 2 + b ^ 2 + c ^ 2) #

luego establecer # c = 1 # al final.

Expandiendo ambos lados de este problema generalizado, tenemos:

# a ^ 2 + b ^ 2 + c ^ 2 + 2ab + 2bc + 2ca = 3a ^ 2 + 3b ^ 2 + 3c ^ 2 #

Restando el lado izquierdo de ambos lados, obtenemos:

# 0 = 2a ^ 2 + 2b ^ 2 + 2c ^ 2-2ab-2bc-2ca #

#color (blanco) (0) = a ^ 2-2ab + b ^ 2 + b ^ 2-2bc + c ^ 2 + c ^ 2-2ca + a ^ 2 #

#color (blanco) (0) = (a-b) ^ 2 + (b-c) ^ 2 + (c-a) ^ 2 #

Para valores reales de #una#, #segundo# y #do#, esto solo puede sostenerse si todos # (a-b) #, #(antes de Cristo)# y #(California)# son cero y por lo tanto:

#a = b = c #

Entonces poniendo # c = 1 # Encontramos la única solución al problema original, a saber: # (a, b) = (1, 1) #