Resuelve ax ^ 4 + bx ^ 3 + cx ^ 2 + dx + e = 0?

Responder:

Un boceto rápido …

Explicación:

Dado:

# ax ^ 4 + bx ^ 3 + cx ^ 2 + dx + e = 0 "" # con #a! = 0 #

Esto se ensucia bastante rápido, así que solo daré un bosquejo de un método …

Multiplicar por # 256a ^ 3 # y sustituto #t = (4ax + b) # Para obtener un quártico monico deprimido de la forma:

# t ^ 4 + pt ^ 2 + qt + r = 0 #

Tenga en cuenta que ya que esto no tiene ningún término en # t ^ 3 #, debe tener en cuenta la forma:

# t ^ 4 + pt ^ 2 + qt + r = (t ^ 2-At + B) (t ^ 2 + At + C) #

#color (blanco) (t ^ 4 + pt ^ 2 + qt + r) = t ^ 4 + (B + C-A ^ 2) t ^ 2 + A (B-C) t + BC #

Igualando coeficientes y reorganizando un poco, tenemos:

# {(B + C = A ^ 2 + p), (B-C = q / A), (BC = d):} #

Así encontramos:

# (A ^ 2 + p) ^ 2 = (B + C) ^ 2 #

#color (blanco) ((A ^ 2 + p) ^ 2) = (B-C) ^ 2 + 4BC #

#color (blanco) ((A ^ 2 + p) ^ 2) = q ^ 2 / A ^ 2 + 4d #

Multiplicando, multiplicando por # A ^ 2 # y reorganizando ligeramente, esto se convierte en:

# (A ^ 2) ^ 3 + 2p (A ^ 2) ^ 2 + (p ^ 2-4d) (A ^ 2) -q ^ 2 = 0 #

Este "cubic in # A ^ 2 #"tiene al menos una raíz real. Idealmente, tiene una raíz real positiva que produce dos valores reales posibles para #UNA#. Independientemente, cualquier raíz del cúbico servirá.

Dado el valor de #UNA#, tenemos:

#B = 1/2 ((B + C) + (B-C)) = 1/2 (A ^ 2 + p + q / A) #

#C = 1/2 ((B + C) - (B-C)) = 1/2 (A ^ 2 + p-q / A) #

De ahí conseguimos dos cuadráticas para resolver.