¿Cuál es la raíz cuadrada de 67?

Responder:

#67# es un primo, y no puede ser factorizado ……

Explicación:

………y por lo tanto #67^(1/2)# #=# # + - sqrt67 #.

Responder:

#sqrt (67) ~~ 34313/4192 ~~ 8.185353 #

Explicación:

#67# es un número primo, por lo que en particular no tiene factores cuadrados. Así que su raíz cuadrada es irracional y no simplificable.

Hay varios métodos que puedes usar para encontrar aproximaciones racionales.

Aquí hay un método basado en el método babilónico …

Para encontrar la raíz cuadrada de un número #norte#, elige una aproximación inicial # p_0 / q_0 # dónde # p_0, q_0 # son enteros

Luego aplique repetidamente las siguientes fórmulas para obtener mejores aproximaciones:

# {(p_ (i + 1) = p_i ^ 2 + n q_i ^ 2), (q_ (i + 1) = 2 p_i q_i):} #

En nuestro ejemplo, vamos a #n = 67 #, # p_0 = 8 # y # q_0 = 1 #, ya que #8^2 = 64# está bastante cerca de #67#. Entonces:

# {(p_1 = p_0 ^ 2 + n q_0 ^ 2 = 8 ^ 2 + 67 * 1 ^ 2 = 64 + 67 = 131), (q_1 = 2 p_0 q_0 = 2 * 8 * 1 = 16):} #

# {(p_2 = p_1 ^ 2 + n q_1 ^ 2 = 131 ^ 2 + 67 * 16 ^ 2 = 17161 + 17152 = 34313), (q_2 = 2 p_1 q_1 = 2 * 131 * 16 = 4192):} #

Si nos detenemos aquí, obtenemos:

#sqrt (67) ~~ 34313/4192 ~~ 8.185353 #

que es precisa para #6# lugares decimales.