¿Cómo usas la regla de la cadena para diferenciar y = (x ^ 3 + 4) ^ 5 / (3x ^ 4-2)?

Responder:

#color (azul) (y '= ((x ^ 3 + 4) ^ 4 (33x ^ 6-48x ^ 3-30x ^ 2)) / (3x ^ 4-2) ^ 2) #

Explicación:

# y # es un cociente en forma de #color (azul) (y = (u (x)) / (v (x)) #

La diferenciación del cociente es la siguiente:

#color (azul) (y '= ((u (x))' v (x) - (v (x)) 'u (x)) / (v (x)) ^ 2) #

Encontremos # (u (x)) '# y # (v (x)) '#

#color (verde) ((u (x)) '=?) #

#u (x) # es un compuesto de dos funciones #f (x) # y #g (x) # dónde:

#f (x) = x ^ 5 # y #g (x) = x ^ 3 + 4 #

Tenemos que usar la regla de la cadena para encontrar #color (verde) ((u (x)) ') #

#u (x) = f (g (x)) # entonces

#color (verde) ((u (x)) '= f' (g (x)) * g '(x)) #

#f '(x) = 5x ^ 4 # entonces

#f '(g (x)) = 5 (g (x)) ^ 4 #

#color (verde) (f '(g (x)) = 5 (x ^ 3 + 4) ^ 4) #

#color (verde) ((g (x)) '= 3x ^ 2) #

Asi que,# (u (x)) '= 5 (x ^ 3 + 4) ^ 4 * 3x ^ 2 #

#color (verde) ((u (x)) '= 15x ^ 2 (x ^ 3 + 4) ^ 4) #

#color (rojo) ((v (x)) '=?) #

#v (x) = 3x ^ 4-2 #

#color (rojo) ((v (x)) '= 12x ^ 3) #

Ahora, vamos a sustituir #color (verde) ((u (x)) '# y #color (rojo) ((v (x)) '# en #color (azul) y '#

#color (azul) (y '= ((u (x))' v (x) - (v (x)) 'u (x)) / (v (x)) ^ 2) #

#y '= (color (verde) (15x ^ 2 (x ^ 3 + 4) ^ 4) * (3x ^ 4-2) -color (rojo) (12x ^ 3) (x ^ 3 + 4) ^ 5) / (3x ^ 4-2) ^ 2 #

#y '= ((x ^ 3 + 4) ^ 4 15x ^ 2 (3x ^ 4-2) -12x ^ 3 (x ^ 3 + 4)) / (3x ^ 4-2) ^ 2 #

#y '= ((x ^ 3 + 4) ^ 4 45x ^ 6-30x ^ 2-12x ^ 6-48x ^ 3) / (3x ^ 4-2) ^ 2 #

#y '= ((x ^ 3 + 4) ^ 4 (45x ^ 6-12x ^ 6-48x ^ 3-30x ^ 2)) / (3x ^ 4-2) ^ 2 #

Por lo tanto, #color (azul) (y '= ((x ^ 3 + 4) ^ 4 (33x ^ 6-48x ^ 3-30x ^ 2)) / (3x ^ 4-2) ^ 2) #