¿Cuál es la fórmula cuadrática de e ^ (2x) - 2e ^ x = 1?

Responder:

Reconoce esto como cuadrático en # e ^ x # y por lo tanto resolver usando la fórmula cuadrática para encontrar:

#x = ln (1 + sqrt (2)) #

Explicación:

Esta es una ecuación que es cuadrática en # e ^ x #, reescribible como:

# (e ^ x) ^ 2-2 (e ^ x) -1 = 0 #

Si sustituimos #t = e ^ x #, obtenemos:

# t ^ 2-2t-1 = 0 #

que está en la forma # en ^ 2 + bt + c = 0 #, con # a = 1 #, # b = -2 # y # c = -1 #.

Esto tiene raíces dadas por la fórmula cuadrática:

#t = (-b + -sqrt (b ^ 2-4ac)) / (2a) = (2 + -sqrt (4 + 4)) / 2 = 1 + -sqrt (2) #

Ahora # 1-sqrt (2) <0 # no es un valor posible de # e ^ x # para valores reales de #X#.

Asi que # e ^ x = 1 + sqrt (2) # y #x = ln (1 + sqrt (2)) #