¿Cuál es el rango de la función cuadrática f (x) = 5x ^ 2 + 20x + 4?

# (x + 2) ^ 2 = x ^ 2 + 4x + 4 #

# 5 (x + 2) ^ 2 = 5x ^ 2 + 20x + 20 #

Asi que

#f (x) = 5x ^ 2 + 20x + 4 #

# = 5x ^ 2 + 20x + 20-16 #

# = 5 (x + 2) ^ 2-16 #

El valor mínimo de #f (x) # ocurrirá cuando # x = -2 #

#f (-2) = 0-16 = -16 #

De ahí el rango de #f (x) # es # - 16, oo) #

Más explícitamente, vamos #y = f (x) #, entonces:

#y = 5 (x + 2) ^ 2 - 16 #

Añadir #16# a ambos lados para obtener:

#y + 16 = 5 (x + 2) ^ 2 #

Divide ambos lados por #5# Llegar:

# (x + 2) ^ 2 = (y + 16) / 5 #

Entonces

# x + 2 = + -sqrt ((y + 16) / 5) #

Sustraer #2# de ambos lados para obtener:

#x = -2 + -sqrt ((y + 16) / 5) #

La raíz cuadrada solo se definirá cuando #y> = -16 #, pero por cualquier valor de #y en -16, oo) #, esta fórmula nos da uno o dos valores de #X# tal que #f (x) = y #.