La fracción funcional continua (FCF) de la clase exponencial se define por a_ (cf) (x; b) = a ^ (x + b / (a ^ (x + b / a ^ (x + ...)))) , a> 0. Al configurar a = e = 2.718281828 .., ¿cómo prueba que e_ (cf) (0.1; 1) = 1.880789470, casi?

Responder:

Ver explicación …

Explicación:

Dejar #t = a_ (cf) (x; b) #

Entonces:

#t = a_ (cf) (x; b) = a ^ (x + b / a ^ (x + b / a ^ (x + b / a ^ (x + …)))) = a ^ (x + b / (a_ (cf) (x; b))) = a ^ (x + b / t) #

En otras palabras, # t # Es un punto fijo del mapeo:

#F_ (a, b, x) (t) = a ^ (x + b / t) #

Tenga en cuenta que por sí mismo, # t # siendo un punto fijo de #Pie)# no es suficiente para probar que #t = a_ (cf) (x; b) #. Puede haber puntos fijos inestables y estables.

Por ejemplo, #2016^(1/2016)# es un punto fijo de #x -> x ^ x #, pero no es una solución de # x ^ (x ^ (x ^ (x ^ …))) = 2016 # (No hay solución).

Sin embargo, consideremos #a = e #, #x = 0.1 #, #b = 1.0 # y #t = 1.880789470 #

Entonces:

#F_ (a, b, x) (t) = e ^ (0.1 + 1 / 1.880789470) #

# ~~ e ^ (0.1 + 0.5316916199) #

# = e ^ 0.6316916199 #

# ~~ 1.880789471 ~~ t #

Así que este valor de # t # está muy cerca de un punto fijo de #F_ (a, b, x) #

Para probar que es estable, considere el derivado cercano # t #.

# d / (ds) F_ (e, 1,0.1) (s) = d / (ds) e ^ (0.1 + 1 / s) = -1 / s ^ 2 e ^ (0.1 + 1 / s) #

Así encontramos:

#F '_ (e, 1,0.1) (t) = -1 / t ^ 2 e ^ (0.1 + 1 / t) = -1 / t ^ 2 * t = -1 / t ~~ -0.5316916199 #

Como esto es negativo y de valor absoluto menor que #1#, el punto fijo en # t # es estable.

También tenga en cuenta que para cualquier valor real no cero de # s # tenemos:

#F '_ (e, 1,0.1) (s) = -1 / s ^ 2 e ^ (0.1 + 1 / s) <0 #

Es decir #F_ (e, 1,0.1) (s) # Está estrictamente disminuyendo monótonamente.

Por lo tanto # t # Es el único punto fijo estable.

Responder:

Comportamiento contractivo.

Explicación:

Con #a = e # y #x = x_0 # la iteración sigue como

#y_ {k + 1} = e ^ {x_0 + b / y_k} # y también

#y_k = e ^ {x_0 + b / y_ {k-1}} #

Investiguemos las condiciones para una contracción en el operador de iteración.

Substruyendo ambos lados

#y_ {k + 1} -y_k = e ^ {x_0} (e ^ {b / y_k} -e ^ {b / y_ {k-1}}) #

pero en primera aproximación

# e ^ {b / y_k} = e ^ {b / y_ {k-1}} + d / (dy_ {k-1}) (e ^ (b / y_ {k-1})) (y_k-y_ {k-1}) + O ((y_ {k-1}) ^ 2) #

o

# e ^ {b / y_k} - e ^ {b / y_ {k-1}} approx -b (e ^ {b / y_ {k-1}}) / (y_ {k-1}) ^ 2 (y_k-y_ {k-1}) #

Para tener una contracción necesitamos

#abs (y_ {k + 1} -y_k) <abs (y_k-y_ {k-1}) #

Esto se logra si

#abs (e ^ {x_0} b (e ^ {b / y_ {k-1}}) / (y_ {k-1}) ^ 2) <1 #. Suponiendo que #b> 0 # y #k = 1 # tenemos.

# x_0 + b / y_0 <2 log_e (y_0 / b) #

Tan dado # x_0 # y #segundo# esta relación nos permite encontrar la iteración inicial en el comportamiento contractivo.