¿Cuál es la raíz cuadrada de 90?

Responder:

#sqrt (90) = 3sqrt (10) ~~ 1039681/109592 ~~ 9.48683298051 #

Explicación:

#sqrt (90) = sqrt (3 ^ 2 * 10) = 3sqrt (10) # es un número irracional en algún lugar entre #sqrt (81) = 9 # y #sqrt (100) = 10 #.

De hecho, desde #90 = 9 * 10# es de la forma #n (n + 1) # Tiene una expansión regular continua de la fracción. # n; barra (2,2n) #:

#sqrt (90) = 9; barra (2,18) = 9 + 1 / (2 + 1 / (18 + 1 / (2 + 1 / (18 + 1 / (2 + 1 / (18+)…)))))) #

Una forma divertida de encontrar aproximaciones racionales es usar una secuencia entera definida por una recurrencia lineal.

Considera la ecuación cuadrática con ceros. # 19 + 2sqrt (90) # y # 19-2sqrt (90) #:

# 0 = (x-19-2sqrt (90)) (x-19 + 2sqrt (90)) #

#color (blanco) (0) = (x-19) ^ 2- (2sqrt (90)) ^ 2 #

#color (blanco) (0) = x ^ 2-38x + 361-360 #

#color (blanco) (0) = x ^ 2-38x + 1 #

Asi que:

# x ^ 2 = 38x-1 #

Use esto para derivar una secuencia:

# {(a_0 = 0), (a_1 = 1), (a_ (n + 2) = 38a_ (n + 1) -a_n):} #

Los primeros términos de esta secuencia son:

#0, 1, 38, 1443, 54796, 2080805,…#

La relación entre términos sucesivos tenderá a # 19 + 2sqrt (90) #

Por lo tanto:

#sqrt (90) ~~ 1/2 (2080805 / 54796-19) = 1/2 (1039681/54796) = 1039681/109592 ~~ 9.48683298051 #