Las raíces {x_i}, i = 1,2,3, ..., 6 de x ^ 6 + ax ^ 3 + b = 0 son tales que cada x_i = 1. ¿Cómo demuestras que, si b ^ 2-a ^ 2> = 1, a ^ 2-3 <= b ^ 2 <= a ^ 2 + 5? De lo contrario, b ^ 2-5 <= a ^ 2 <= b ^ 2 + 3?

$Las raíces {x_i}, i = 1,2,3, ..., 6 de x ^ 6 + ax ^ 3 + b = 0 son tales que cada x_i = 1. ¿Cómo demuestras que, si b ^ 2-a ^ 2> = 1, a ^ 2-3 <= b ^ 2 <= a ^ 2 + 5? De lo contrario, b ^ 2-5 <= a ^ 2 <= b ^ 2 + 3?$

Responder:

En cambio, la respuesta es # {(a, b)} = {(+ - 2, 1) (0, + -1)} # y las ecuaciones correspondientes son # (x ^ 3 + -1) ^ 2 = 0 y x ^ 6 + -1 = 0. #.

Explicación:

La buena respuesta de Cesereo R me permitió modificar.

Mi versión anterior, para hacer mi respuesta bien.

La forma # x = r e ^ (i theta) # Podría representar tanto real como complejo.

raíces En el caso de raíces reales x, r = | x |., ¡De acuerdo! Vamos a proceder.

En esta forma, con r = 1, la ecuación se divide en dos ecuaciones, #cos 6theta + a cos 3theta + b = 0 # …(1)

# sin 6 theta + a sin 3 theta = 0 #… (2)

Para estar a gusto, elija (3) primero y use #sin 6theta = 2 sin 3theta cos 3theta #. Da

#sin 3theta (2 cos 3theta + a) = 0 #, con soluciones

#sin 3theta = 0 a theta = k / 3pi, k = 0, + -1, + -2, + -3, … # …(3)

# cos 3theta = -a / 2 a theta = (1/3) (2kpi + -cos ^ (- 1) (- a / 2)) #, con k como antes. … (4)

Aquí, # | cos 3theta | = | -a / 2 | <= 1 a a en -2, 2 # … (5)

(3) reduce (1) a

# 1 + -a + b = 0 # … (6)

Utilizando #cos 6theta = 2 cos ^ 2 3theta-1 #, (4) reduce (1) a

# 2 (-a / 2) ^ 2-1-a ^ 2/2 + b = 0 a b = 1 #… (7)

Ahora, desde (6), # a = + -2 #

Entonces, (a, b) los valores son (+ -2, 1)..

Las ecuaciones correspondientes son: # (x ^ 3 + -1) ^ 2 = 0 y (x ^ 6 + 1) = 0 #

Sin embargo, esto no está en total concordancia con el conjunto de valores de Cesareo para (a,). Creo que tengo que revisar mi respuesta nuevamente. Considerando (4) y (6) juntos, al configurar a = 0, b = - 1. Fácil de verificar que # (a, b) = (0, -1) #Es una solución y la ecuación correspondiente es. # x ^ 6-1 = 0 #, con dos raíces reales #+-1#. Aquí, # 6 theta = (4k-1) pi y cos 6theta = -1 #y así, (6) se convierte en b = 1, cuando a = 0 también. Tienes razón al 100%, Cesareo. Gracias.

La respuesta completa es tal como se ingresó en el cuadro de respuesta.

Nota: esta es otra proposición. Sin embargo, recordaría y haría una declaración sobre cómo había establecido las desigualdades en la pregunta actual, lo antes posible.

Desafortunadamente, mis garabatos sobre este asunto habían ido a la papelera. Si esta respuesta es correcta pero no es eso, yo #lamentar# por lo mismo. Tengo que cambiar la pregunta para esta respuesta. Pienso rápido pero no escribo, en sincronía con el pensamiento. Los errores se incrustan fácilmente en mis pensamientos.

Espero que los neurocientíficos apoyen mi explicación, para la entrada de errores en nuestro arduo trabajo.

Responder:

Vea abajo.

Explicación:

Suponiendo eso # {a, b} en RR # tenemos eso #b = pm1 #

porque #b = Pix_i #. Ahora haciendo #y = x ^ 3 # tenemos

# y ^ 2 + aypm1 = 0 # y resolviendo para # y #

#y = - (a / 2) pmsqrt ((a / 2) ^ 2- (pm1)) # pero

# absy = abs (- (a / 2) pmsqrt ((a / 2) ^ 2- (pm1))) = 1 #

Resolviendo para #una# tenemos # a = {0, -2,2} #

La ecuacion # x ^ 6 + hacha ^ 3 + b = 0 # Es equivalente a una de las posibilidades.

# x ^ 6 + a_0x ^ 3 + b_0 = 0 #

con

# a_0 = {- 2,0,2} #

# b_0 = {- 1,1} #